第47讲 洛必达法则解高考导数压轴题讲义-2023届最优化的高中数学大题二轮复习

第47讲 洛必达法则解高考导数压轴题 我们在前面的学习过程中,应该能体会到参变分离对于解决不等式恒成立问题的重要性和快捷性,但有时候我们明明知道了函数的单调性,知道了函数会大于或者小于某一个值(这个值被称为确界),但就是取不到,这个时候就需要用到极限来计算,在求函数的极限时,常会遇到两个函数都是无穷小或都是无穷大时,求它们比值的极限,此时极限可能存在,也可能不存在.通常把这种极限叫作未定式,并分别简称为型或型. 例如,就是型的未定式而极限就是型的未定式,对于未定式的极限,我们该如何求呢? 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法,需视具体问题而定,属于特定的方法.本节将用导数作为工具,给出计算未定式极限的一般方法,即洛必达法则,在此之前我们需要明白“确界”的概念. 确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值,为了能够利用分离参数思想【解析】决含参不等式恒成立的问题,我们利用如下的函数确界的概念: 函数的上确界为,记作的下确界为,记作.于是,有如下结论: (1)若无最大值,而有上确界,这时要使恒成立,只需. (2)若无最小值,而有下确界,这时要使恒成立,只需. 确界通俗地说就是,知道函数不会超过某个值(这个值其实就是确界),但就是在定义域内取不到这个值,举个【例】子: 在恒成立,求的取值范围.取不到1,但为单调递增,,即2就是的下确界,于是我们可以得到. 可以简单地理解为确界就是函数取不到的最值,需要用极限来逼近,下面举例子来说明. 【例1】 设函数,时,,求的取值范围. 洛必达法则 (一)型不定式 定理1 设函数满足下列条件: (1). (2)与在的某一去心邻域内可导,且. (3)存在(或为无穷大),则. 【例1】计算极限. (二)型不定式 定理2设函数满足下列条件： (1). (2)与在的某一去心邻域内可导,且. (3)存在(或为无穷大), 则. 【例2】 计算极限 洛必达法则求参数取值范围 洛必达法则求参数取值范围的一般步骤和前面参变分离的解题步骤一致,只不过是最后无法直接求解最值,只能用洛必达法则求解确界. 【例1】已知函数,当时,,求的取值范围. 【例2】 设函数,设当时,,求的取值范围. 【例3】若不等式对于恒成立,求的取值范围。 【例4】已知函数,当时,若,都有恒成立,求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第47讲 洛必达法则解高考导数压轴题 我们在前面的学习过程中,应该能体会到参变分离对于解决不等式恒成立问题的重要性和快捷性,但有时候我们明明知道了函数的单调性,知道了函数会大于或者小于某一个值(这个值被称为确界),但就是取不到,这个时候就需要用到极限来计算,在求函数的极限时,常会遇到两个函数都是无穷小或都是无穷大时,求它们比值的极限,此时极限可能存在,也可能不存在.通常把这种极限叫作未定式,并分别简称为型或型. 例如,就是型的未定式而极限就是型的未定式,对于未定式的极限,我们该如何求呢? 计算未定式的极限往往需要经过适当的变形,转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算.这种变形没有一般方法,需视具体问题而定,属于特定的方法.本节将用导数作为工具,给出计算未定式极限的一般方法,即洛必达法则,在此之前我们需要明白“确界”的概念. 确界 如果分离参数后相应的函数不存在最值,为了能够利用分离参数思想【解析】决含参不等式恒成立的问题,我们利用如下的函数确界的概念: 函数的上确界为,记作的下确界为,记作.于是,有如下结论: (1)若无最大值,而有上确界,这时要使恒成立,只需. (2)若无最小值,而有下确界,这时要使恒成立,只需. 确界通俗地说就是,知道函数不会超过某个值(这个值其实就是确界),但就是在定义域内取不到这个值,举个【例】子: 在恒成立,求的取值范围.取不到1,但为单调递增,,即2就是的下确界,于是我们可以得到. 可以简单地理解为确界就是函数取不到的最值,需要用极限来逼近,下面举例子来说明. 【例1】 设函数,时,,求的取值范围. 分析:由对所有的成立,可得 (1)当时,. (2)当时,. 设,把问题转化为求的最小值或下确界. 则. 又的二阶导数的三阶导数,是增函数..增函数..是增函数.,从而,于是在上单调递增,故无最小值. 此时,由于无意义,分析可知是有下确界的,运用极限表述为:,关键是这个极限值或者说确界如何求出呢?这就是本章的重点:洛必达法则. 由洛必达法则即可得. 故时,,因而,综上知的取值范围为. 那什么是洛必达法则呢?