7.3 复数的三角表示-2022-2023学年高一数学新教材同步题型+能力+素养练（人教A版2019必修第二册）

§7.3 复数的三角表示 一维练基础 题型一：复数的三角表示 1．下列结论中正确的是（    ）． A．复数z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 【答案】B 【点拨】根据复数辐角、辐角主值定义及复数0辐角判断各项的正误. 【详解】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误； B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确； C：其中，故实数0能写成三角形式，错误； D：复数0的辐角主值不唯一，错误. 故选：B 2．以下不满足复数的三角形式的是（    ）． A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【点拨】逐一计算每个选项即可得答案. 【详解】对于A：，符合； 对于B：，符合； 对于C：，不符合； 对于D：，符合 故选：C. 3．复数的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】将复数的代数形式为三角形式，即可求出辐角的主值． 【详解】复数 ， 所以复数的辐角主值是． 故选：D 4．复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【点拨】设出辐角为，利用公式计算出，，结合辐角主值的取值范围求出答案. 【详解】设复数的辐角为， 则， 所以，， 因为， 所以当时，满足要求， 所以辐角主值为. 故选：A 5．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】根据可判断ABD，根据复数的乘法运算可判断C. 【详解】因为所以，故A正确 ，，故B正确 ，故C错误 ，故D正确 故选：C 题型二：复数乘除运算的三角表示 1．若复数z的模为2，辐角主值为，则＝（    ） A．1+i B．1-i C．-i D．+i 【答案】D 【点拨】复数z的模为2，辐角主值为知，由复数的除运算得 【详解】由复数z的模为2，辐角主值为，知 ∴ 故选：D 2．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】根据复数的三角运算公式运算即可. 【详解】因为 所以， 所以， 故选：B. 3．若复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】根据已知条件，运用复数的乘法运算法则及复数的三角形式，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 4．______． 【答案】 【点拨】写出，的三角表示，应用三角形式除法化简复数即可. 【详解】由，， 所以. 故答案为： 5．在复平面上A，B表示复数为α，β(α≠0)，且β＝(1＋i)α，则∠AOB＝_________. 【答案】 【点拨】根据复数乘除法的几何意义以及其三角形式的表示可得答案. 【详解】∵α≠0，β＝(1＋i)α ∴＝1＋i＝，∴∠AOB＝. 故答案为：. 二维练能力 一、单选题 1．的辐角主值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【点拨】根据复数的三角形式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，若辐角主值为，则，不可能为，故A错误； 对于B，若辐角主值为，则，不可能为，故B错误； 对于C，若辐角主值为，则，当时，，故C正确； 对于D，由于辐角主值的范围为，不可能为，故D错误. 故选：C. 2．设，则复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】根据复数三角形式下的乘除运算及辐角的定义即可求解． 【详解】解：， 因为， 所以，所以， 所以该复数的辐角主值为． 故选：B. 3．欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【点拨】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可. 【详解】 ， 故选：B. 4．复数的三角形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【点拨】首先求出复数在复平面内所对应的点，即可求出和辐角，从而得解； 【详解】解：复数在复平面内所对应的点为位于第四象限， 则，，所以，即 所以． 故选：D 二、填空题 5．设，则______． 【答案】 【点拨】将复数表示成三角形式，利用复数三角形式的乘方法则可化简. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 6．若（i为虚数单位），则使的的一个可能值是______． 【答案】（答案不唯一） 【点拨】 即，可得，，求得． 【详解】解：为虚数单位）， 即， ，，，，. 所以的一个可能值是（满足，）. 故答案为：（满足，）. 7．的三角形式是______． 【答