第一章 集合与常用逻辑用语必备知识与能力盘点讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第一章：集合与常用逻辑用语 必备知识 系统的整理,盘点基本概念、公式、方法、二级结论、题型、易错问题及常用技巧总结。 一、集合 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 2元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. 3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 4.五个特定的集合： 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或N＋ 5. 集合间的基本关系 　　表示 关系　　 文字语言 符号语言 记法 基本关系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A⇒x∈B A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A⊆B，且 ∃x0∈B，x0∉A AB或BA 相等 集合A，B的元素完全相同 A⊆B，B⊆A A＝B 空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集 ∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B(B≠∅) ∅ 6.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 意义 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 例1:已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4>0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为(　　) A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤2或x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}答： D. 7．集合的运算性质 集合的运算性质：　⑴；　⑵；⑶ ； ⑷； ⑸； ⑹ ；⑺. 例2:（1）设全集，若，，，则A＝_____，B＝___.（答：，） （2）已知集合,.则集合M,P之间的关系为（ ） A M=P B C D 答： B　(结构相似法) （3）设Z表示整数集，且集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】∵，由，则， 即中元素都是中元素，有；． 而对于集合，当时，，故，但，∴ 由，有，A选项正确； , B选项错误； 由，有，∴， ，C选项错误，D选项正确.故选：AD． 8.易错问题 8.1在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性， 例3:已知a∈R，b∈R，若{a，ln(b＋1)，1}＝{a2，a＋b,0}，则a2 022＋b2 022＝_____.答：1 8.2遗忘空集 遇到时，你是否注意到“极端”情况：或；同样当时，你是否忘记的情形？要注意到是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。例4:集合，，且，则实数＝______.（答：） 例5:设全集为R，集合 在①②③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分） 答：选择①作为已知条件.（选择②、③的解法同①） 当时， 当时， 综上，可得的取值范围为 8.3“端点”要取舍：等号是否取到? 例6:（1）已知A＝(1,3]，B＝[a，b](a<b)， 若B⊆A，则区别：若A⊆B，则 （2）设集合A＝{x|－1＜x－a＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是(　　) A．0≤a≤6 B．a≤2，或a≥4 C．a≤0，或a≥6 D．2≤a≤4 答:C 8.4. 没分清集合的代表元素 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：—函数的定义域；—函数的值域；—函数图象上的点集，函数为元素的集合 例7:已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝(　　) A. B．(－∞，0)∪ C. D．(－∞，0]∪ 答： D　因为A＝{y|y＝}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝，所以A∩B＝，所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪. 9.二级结论：对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 例8:满足集合M有______个。　（答：7） 10. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 11.集合中元素的个数（P15阅读与思考） 例9：经问卷调查，某班学生摄影分别执“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中执“一般”态度的比“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影，如果选出的5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学，那么全班学生中“喜欢”摄影的比全班人数的一半还多