第五章 三角函数必备知识与能力盘点讲义（一）-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数(一) 必备知识与能力盘点 1、任意角： (1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 2、象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： （1）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等. 例1：（I）在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 答：－675°或－315° （II）与角的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。 （答：；） （2）终边与终边共线(的终边在终边所在直线上) . （3）终边与终边关于轴对称. （4）终边与终边关于轴对称. （5）终边与终边关于原点对称. （6）终边在轴上的角可表示为：；终边在轴上的角可表示为：；终边在坐标轴上的角可表示为：. 4、与的终边关系： 例2：若角α是第二象限角，则是第________象限角． 【解析】∵α是第二象限角，∴＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴＋kπ<<＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．答：一或三 5. 弧度制 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. （2）角度与弧度的换算：①1°＝ rad；②1 rad＝ （3）1弧度(1rad). 6. 弧长公式：，扇形面积公式：， 例3：（1）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为(　　) A. B. C. D. 答： C　 （2）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2） （3）已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是 答：4或1. （4）若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________． 答：1∶2 （5）已知扇形AOB的周长为8. ①若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小； ②求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB. 【解析】设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α， ①由题意可得解得或∴α＝＝或α＝＝6. ②法一：∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝l·2r≤， 当且仅当2r＝l，即r＝2，l＝4，α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 法二：∵2r＋l＝8，∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4， 当且仅当r＝2，l＝4，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1. 7、 三角函数的概念： 7.1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0) 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。 例4：（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α的值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答：D （2）已知点在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 答： （3）已知角的终边经过点P(5，－12)，则的值为＿＿。（答：）；点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动 弧长到达点Q，则点Q的坐标为________． 答： 7.2三角函数值在各象限的符号： 一全正、二正弦，三正切、四余弦． 例5：下列选项中正确的是(　　) A．sin 300°＞0 B．cos(－305°)＜0 C． D．sin 10＜0 答：D 7.3特殊角的三角函数值： 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180° 角α的弧度数 0 π sin α 1 0 cos α 0 － － －1 tan α 1 － － 0 8. 同角三角函数的基本关系式： （1）平方关系： （2）商数关系： 8.1.已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号。 例6（1）若，则使成立的的取值范围是____ （答：）； （2） 已知，则等于　（ ）　 A、　　B、　　C、　　　D、（答：B）； （