第五章 三角函数必备知识与能力盘点讲义（三）-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修一第五章《三角函数》（三） 必备知识与能力盘点 18、形如的函数： 18.1几个物理量： y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ 例1：已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为（　　） A.， B.， C.， D.， 答;A 18.2函数图象的画法：①“五点法”――设，令＝0，求出相应的值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： ωx＋φ 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 例2:若关于x的方程2sin＝m在上有两个不等实根，则m的取值范围是(　　) A．(1，)　　　B．[0,2] C．[1,2) D．[1，] 解析：选C　2sin＝m在上有两个不等实根等价于函数f(x)＝2sin的图象与直线y＝m有两个交点．在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，由图可知m的取值范围是[1,2)． 18.3确定函数表达式：A由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定， 归纳:确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法 (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝； (2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝； (3)求φ：常用的方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)． ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： 第一点 图象上升时与x轴的交点 ωx＋φ＝0 第二点 图象的“峰点”　　　　　 ωx＋φ＝ 第三点 图象下降时与x轴的交点 ωx＋φ＝π 第四点 图象的“谷点”　　　　　 ωx＋φ＝ 第五点 ωx＋φ＝2π 例3：(1).函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则的值为________． 解析：由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2， ∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)， ∵0<φ<π，∴φ＝，∴，则 答： (2)(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为________． 解析：选D　由图象知，周期，∴＝2，∴ω＝π. 由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴ 由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，得2k－＜x＜2k＋，k∈Z， ∴f(x)的单调递减区间为（2k－，2k＋），k∈Z. (3)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________. 解析：依题意得 ，则＝2，即ω＝，所以，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝，而，故φ＝，所以.答： (4)，的图象如图所示，则＝_____（答：）； （5）函数y＝sin(ωx＋φ)在同一个周期内，当x＝时，y取得最大值1，当x＝时，y取得最小值－1.若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0＜a＜1)，则在[0,2π]内的所有实数根之和为(　　) A.　　　　B. C. D. 答：A　由题意可得＝2×，所以ω＝3. 又＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)． 又|φ|<，所以φ＝－，所以函数. 由于的最小正周期为，所以在[0,2π]内恰有3个周期，所以＝a(0<a<1)在[0,2π]内有6个实数根， 由小到大依次记为x1，x2，x3，x4，x5，x6， 令3x－＝2kπ＋，k∈Z，可得x＝＋，(k∈Z)． 依据f(x)图象的对称性可得x1＋x2＝2×＝，x3＋x4＝2×＝，x5＋x6＝2×＝，故所有实数之和为x1＋x2＋…＋x6＝＋＋＝.故选A. 18.4函数的图象与图象间的变换关系： 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 注:掌握三角函数的图象变换的2方法 I.平移变换 沿x轴平移 由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移 沿y轴平移 由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移 II.伸缩变换 沿x轴伸缩 由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍 沿y轴伸缩