第五章 三角函数必备知识与能力盘点讲义（二）-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

必修一第五章《三角函数》（二） 必备知识与能力盘点 三角恒等变换 13、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： 例1（1）计算下列几个式子，结果为的是（ ） A． B． C． D. 答：ACD A正确； ，B不正确； C正确； ，D正确.故选ACD （2）命题P：，命题Q：，则P是Q的 （ ）　 A、充要条件　　 B、充分不必要条件　　 　C、必要不充分条件　D、既不充分也不必要条件（答：C）； （3）已知，求的值（用a表示）甲求得的结果是，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对） （4）已知，那么的值为____（答：）； (5) 的值是______（答：4）； 14. 三角函数的化简、计算、证明 恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。（1）首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！（2）看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；（3）观察代数式的结构特点。 基本的技巧: 14.1角的灵活变形（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍（半）角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，，，等）， 例2：（1）已知α∈，β∈，且，cos(α＋β)＝－，则β＝________.答： （2）已知，，那么的值是_____（答：）；（3）已知，且，，求的值（答：）； 14.2三角函数名互化(切化弦)， 例3：（1）求值（答：1）； 【解析】＝sin 50°· ＝sin 50°· ＝＝＝＝1 （2）证明： 法一： 法二： （3）的两根,则_________. 【解析】 14.3公式变形使用（。 例4（1）已知A、B为锐角，且满足，则＝_____（答：）； (2)设中，，，则此三角形是____三角形（答：等边） 二级结论：若，，为的内角，则。 14.4三角函数次数的降升(降次升角公式：，，与升次降角公式：，，)。 例5：(1)若，化简为_____（答：）； （2）已知函数，若对任意实数，恒有，则_______． 答： 【解析】 对任意实数，恒有，则为的最小值，为的最大值．因为，而， 所以当时，取得最大值；当时，取得最小值．所以，，所以． 所以． （3）函数的单调递增区间为___________（答：） （4）已知△ABC的三个内角分别为A、B、C，函数 （I）求函数f(x)的单调递增区间 （II）从下面①②③中选取两个作为条件，判断△ABC的形状，并求f（A+45°）． ①2sin2（A+C）＝sin2B,②4sin2﹣cos2A＝，③ 【解析】（I）f(x)＝－cos2x＋2cosx(cosxcos＋sinxsin) ＝－cos2x＋＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋． 令＋2k≤2x－≤＋2k，k∈Z， 解得 ＋k≤x≤＋k，k∈Z， 函数f(x)的单调递增区间为[＋k，＋k]，k∈Z． （II）选择①② 由①∵A+C＝﹣B，∴sin2B＝sinBcosB，∴tanB＝，∵0＜B＜，∴B＝， 由②∴C＝﹣A，∵cos（C﹣A）＝﹣2cos2A，∴cos（2A﹣）＝﹣2cos2A， ∴cos2Acos120°+sin2Asin120°＝﹣2cos2A， ∴sin2A+cos2A＝0，∴sin（2A+）＝0， ∴2A+＝，∴A＝，∴△ABC的形状为等边三角形 选择①③：由①知B＝（同上）由③ ……11分 ∴△ABC的形状为等边三角形……..12分 选择②③：由②知A＝，由③ 知（方法同上）∴△ABC的形状为等边三角形. 14.5式子结构的转化 例6：（1）求证：； （2）化简：（答：） 2.6常值变换主要指“1”的变换（ 等）， 例1.已知，求（答：）. 例2.若，则的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5）； 14.6沟通“三兄妹””的内存联系――“知一求二”， 例7：（1）若 ，则 __（答：)，特别提醒：这里； （2）若，求的值。（答：）； （3）已知，∈（0，π），则下列求值正确的是( ) A． B. C． D．= 答：ABD 【解析】由题设可得=，则，所以，即， ，再与联立求得，，故A正确； 故B正确； 故C不正确； 法一: 法二: （sin+cos）（sin-cos）= ==故D正确。 故选ABD （4）已知，试用表示的值（答：）。 15、辅助角公式：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。 例8（1）（人教A版必修一P228练习T1（2）改编）函数取最大值时 【解析】 其中，当，函数取最大值 （2