第四章 指数函数与对数函数必备知识与能力盘点讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第四章: 指数函数与对数函数 一、指数与指数函数 1．有理数指数幂 (1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：，②负分数指数幂： ③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 例1：(I)(2)0.5＋0.1－2＋－3π0＋. 答:100 (II)________．答： 2．指数函数的图象与性质 函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 图象 a>1 0<a<1 图象特征 在x轴上方，过定点(0,1) 性 质 定义域 值域 (0，＋∞) 单调性 单调递增 单调递减 函数值变化规律 当x＝0时，y＝1 当x<0时，0<y<1； 当x>0时，y>1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 2.1定点问题 例2．函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(　　) A．(0,1) B．(1,1) C．(2,0) D．(2,2) 答：D　 2.2指数函数图象 例3：（1）.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0　　B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 答：D　 （2）已知函数（且）在上的值域是，则实数 ；此时，若函数的图象不经过第二象限，则的取值范围为________.【答案】3， 2.3指数复合型函数的单调性 例4.已知函数f(x)＝. (1)若a＝－1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有最大值3，求a的值． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g(x)＝ax2－4x＋3，则f(x)＝g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值－1，因此必有解得a＝1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1. 2.4指数复合型函数的最值与值域 例5：函数y＝的值域是 答：(0,4] 2.5指数复合型函数的奇偶性与对称性 例6. （1）已知函数，则的值为___________. 【答案】##5.25 【解析】因为, 所以 ,故答案为:. （2）已知函数f(x)＝2x＋λ·2－x为偶函数． (I)求f(x)的最小值； (II)若不等式f(2x)≥f(x)－m恒成立，求实数m的最小值． 解：(I)法一：由题意得2－x＋λ·2x＝2x＋λ·2－x，∴λ＝1， ∴f(x)＝2x＋2－x，设0≤x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝2x1＋2－x1－(2 x 2＋2－x 2)＝<0， ∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数． 又f(x)为偶函数，∴f(x)在(－∞，0)上是减函数．∴当x＝0时，f(x)取得最小值2. 法二：∵f(－x)＝f(x)，∴2－x＋λ·2x＝2x＋λ·2－x，∴λ＝1，∴f(x)＝2x＋2－x＝2x＋. ∵2x>0，∴2x＋≥2，当且仅当2x＝，即x＝0时，等号成立， ∴f(x)的最小值为2. (II)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝[f(x)]2－2.∵f(2x)≥f(x)－m恒成立． ∴m≥f(x)－f(2x)＝f(x)－[f(x)]2＋2，由(1)知，f(x)∈[2，＋∞)， ∴当f(x)＝2时，f(x)－[f(x)]2＋2取得最大值0， ∴m≥0，即实数m的最小值为0. 二、 指数、对数值的大小比较 （1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。 例7（1） 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，即，即，，即，所以.故选：A. （2）已知实数，满足等式，下列式子可以成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】分别画出，的图象，如示意图： 实数，满足等式， 可得：，或，或． 故选：ABD. （3）. 已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【解析】由可得，所以即， 由结合是上的增函数，可得， 因为，所以由可得，所以，故．故