第三章 函数的概念与性质必备知识与能力盘点讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

期末复习3：第三章《函数的概念与性质》必备知识 1.函数的概念。 函数的定义 设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 函数的记法 y＝f(x)，x∈A 定义域 x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域 值域 函数值的集合叫做函数的值域 例1：下列图形中，不能确定y是x的函数的是(　　) 答案　D 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系． 特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。 例2：（1）已知函数，，那么集合中所含元素的个数有 个（答： 0或1）； （2）若函数的定义域、值域都是闭区间，则＝ （答：2） (3)同一函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数是同一个函数，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3. 　区　间 区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半闭半开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 特别提醒：①“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，以－∞或＋∞作为区间一端时，这一端必须是小括号． ②区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大． 4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： 重要的知识结论要熟记：常见基本初等函数定义域的基本要求： (I)分式函数中分母不等于零；(II)偶次根式函数的被开方式大于或等于0； (III)一次函数、二次函数的定义域均为R；(IV)y＝x0的定义域是{x|x≠0}； (V)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R； (VI)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)； (VII)y＝tan x的定义域为. 4.1根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数中且，三角形中, 最大角，最小角等。 例3：（1）函数f(x)＝＋的定义域为_______ 解析： 解得x≥0且x≠2. （2）函数f(x)＝的定义域为________________． 解析：要使函数f(x)有意义，则(log2x)2－1>0，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0<x<，故所求函数的定义域是∪(2，＋∞)． （3）函数的定义域是____(答：)； （4）若函数的定义域为R，则_______(答：)； 4.2复合函数的定义域： 若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。 例4：（1）函数的定义域是，，则函数的定义域是__________(答：)；已知函数f(x)的定义域是[0,4]，则f(x＋1)＋f(x－1)的定义域是________．答：[1,3] （2）已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－， ]，则函数y＝f(x)的定义域为________． 解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－， ]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．答：[－1,2] （3）若函数的定义域为，则的定义域为__________（答：） 4.3根据实际问题的要求确定自变量的范围。 5. 求函数的解析式 例5：（1）若,求f(x) (2)已知f＝x2＋，求函数f(x)的解析式． (3)已知f＝lg x，求f(x)的解析式． (4)（I）已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x1, 求f(x)的解析式 （II）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的解析式． (III)设二次函数满足且=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求的解析式. (5)（1）已知函数f