第二章 一元二次函数、方程和不等式必备知识与能力盘点讲义-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章：一元二次函数、方程和不等式 必备知识 一、不等式性质 1、不等式的性质： (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c；a>b，c>d⇒a＋cb＋d； (4)可乘性：a>b，c>0⇒acbc；a>b>0，c>d>0⇒acbd； (5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)． 例1：（1） 能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________. 【答案】（答案不唯一） （2）对于实数中，给出下列命题：①；②；③；④；⑤；；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （3）若角α，β满足－<α<β<π，则α－β的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答：B 易错：（I）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （II）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）； （III）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；（IV）若，，则；若，，则。 例2：（1）已知：<<0，给出下列不等式正确的是（ ） A.<；B.|a|＋b>0；C.a－>b－；D.ln a2>ln b2. 答：AC （2）已知，且则的取值范围是______（答：） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法；（9）估算法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 例3：（1） 若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)． 答案：＜； .解析：法一：（作商）易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 法二： （2） 已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N　B．M >N C．M＝N D．不确定 答：B解析：　M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，∴M >N. （3）设，比较的大小 （答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））； （4）设，，，试比较的大小（答：）； 二.基本不等式 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥ (a，b∈R)；(2)＋≥(a，b同号)； (3) (a，b∈R)；(4) ≤(a，b∈R)． 3. 利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)． (2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)． 注：利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。 例4：（1）下列命题中正确的是（ ） A、的最小值是2 B、的最小值是2 C、的最大值是 D、若，则的最小值是 答：C （2）若实数x满足x＞－4，则函数f(x)＝x＋的最小值为________．答：2 （3）若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是________．答： （4） 若，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 答：C【解析】 ， 当且仅当时，取等号，所以的最小值为. 故选：C. （5）若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．答：2 （6） 规定：“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________． 解析：由题意得1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，解得＝1或＝－2(舍去)，所以k＝1，故k的值为1.又f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3， 当且仅当＝，即x＝1时取等号，故函数f(x)的最小值为3.答：3 （7）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (I)xy的最小值； (II)x＋y的最小值．答：（1）64；（2）18 4.二级结论：（1）不等式链：(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）加糖原理：若，则（糖水的浓度