专题02 二次根式的运算专题复习-【专题突破】2022-2023学年八年级数学下册重难点及章节分类精品讲义(人教版)

专题02 二次根式的运算专题复习 类型一 二次根式的计算 1．计算：． 2．计算：（1）×+； （2）（﹣）×． 3．计算下列各题． （1）； （2）． 4．计算：． 5．计算： （1）（﹣）（+）+； （2）． 6．计算： （1）； （2）； （3）． 类型二 与二次根式有关的化简求值 【直接型化简求值】 7．若a＝，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值． 8．先化简，再求值；+x﹣4y﹣，其中x＝，y＝4． 【利用其非负性化简求值】 9．已知x，y为实数，且，求的值． 10．已知：，求的值． 【新定义型化简求值】 11．对于任意的正数m，n，定义新运算“※”为：m※n＝，请依据新运算计算：（3※2）×（8※12）． 12．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，求★（★）的值 【利用整体思想化简求值】 13．已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2b﹣ab2的值． 14．已知，，求下列代数式的值： （1）x2y+xy2； （2）． 15．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵a＝ ∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3 ∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）化简：； （2）若a＝，求2a2+4a﹣1的值． 【综合应用】 16．著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号． 例如：＝＝＝＝1+． 解决问题： （1）在括号内填上适当的数：＝＝③ ①：　 　，②：　 　，③　 　． （2）根据上述思路，化简并求出+的值． 17．观察下列等式：；；…你根据观察得到的结论，解答下列各题： （1）猜想：＝　 　； （2）解方程：． 18．阅读材料：（一）如果我们能找到两个正整数x，y使x+y＝a且xy＝b，这样，那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：﹣1．那么我们称这个过程为分式的分母有理化．根据阅读材料解决下列问题： （1）化简“和谐二次根式”：①＝　 　；②＝　 　． （2）已知m＝，n＝，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算专题复习 类型一 二次根式的计算 1．计算：． 【分析】先计算二次根式的除法，再算加减，即可解答． 【解答】解： ＝ ＝+﹣2 ＝4+2﹣2 ＝4． 2．计算：（1）×+； （2）（﹣）×． 【分析】（1）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可； （2）先根据二次根式的乘法进行计算，再算减法即可． 【解答】解：（1）×+ ＝3×2+ ＝12+； （2）原式＝﹣ ＝3﹣2 ＝1． 3．计算下列各题． （1）； （2）． 【分析】（1）先化简每一个二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答． 【解答】解：（1） ＝2﹣3+ ＝2﹣3﹣2（+） ＝2﹣3﹣2﹣2 ＝﹣5； （2） ＝﹣（﹣）+﹣ ＝﹣（﹣）+﹣ ＝﹣2++﹣ ＝2﹣2． 4．计算：． 【分析】先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【解答】解： ＝3﹣（+1）2﹣﹣|﹣2| ＝3﹣（3+2）﹣﹣（2﹣） ＝3﹣3﹣2﹣﹣2+ ＝﹣5． 5．计算： （1）（﹣）（+）+； （2）． 【分析】（1）根据平方差公式计算即可求解； （2）先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． 【解答】解：（1）（﹣）（+）+ ＝5﹣7+ ＝﹣2+； （2） ＝3﹣2+2﹣（1﹣2+2） ＝5﹣2﹣3+2 ＝2． 6．计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）直接化简二次根式，再合并同类二次根式得出答案； （2）直接利用二次根式的混合运算法则化简得出答案； （3）直接利用负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、二次根式的乘法运算法则分别化简，进而得出答案． 【解答】解：（1）原式＝2﹣3﹣2× ＝2﹣3﹣ ＝﹣2； （2）原式＝3﹣2+1+ ＝3﹣2+1+2 ＝6﹣2； （3）原式＝4+1﹣2+ ＝5﹣． 类型二 与二次根式有关的化简求值 【直接型化简求值】 7．若a＝，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值． 【分析】根据二次根式的性质化简a，根据完全平方