6.2.4 向量的数量积（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

6．2.4　向量的数量积 学业标准 素养目标 1．掌握平面向量的数量积的定义．(重点) 2．理解平面向量的数量积的几何意义．(难点) 3．了解向量的数量积与实数的乘法的区别. 1．通过力做功抽象出数量积，培养数学抽象和逻辑推理等核心素养． 2．借助数量积的运算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　平面向量的数量积 一个物体在力F的作用下产生位移s，如图． 　如何计算这个力所做的功？ [提示]　W＝|s||F|cos θ. 　力F在位移方向上的分力是多少？ [提示]　|F|cos θ. 　力做功的大小与哪些量有关？ [提示]　与力F的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关． ◎结论形成 1．两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则__∠AOB＝θ__(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作　〈a，b〉　. (2)特例：①当θ＝0时，向量a，b__同向__； ②当θ＝π时，向量a，b__反向__； ③当θ＝时，向量a，b__垂直__，记作a⊥b. 2．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量　|a||b|cos θ　叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作　a·b　，即a·b＝　|a||b|cos θ　.规定零向量与任何向量的数量积等于__0__. 导学2　投影向量 　 设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得，这种变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的__投影向量__． 导学3　平面向量数量积的性质和运算律 　已知两个非零向量a，b，θ为a与b的夹角． 　若a·b＝0，则a与b有什么关系？ [提示]　∵a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cos θ＝0，θ＝90°，a⊥b. 　a·a等于什么？ [提示]　a·a＝|a|2cos 0°＝|a|2. 　在什么条件下可求cos θ？ [提示]　已知a·b及|a||b|时，可得cos θ＝. ◎结论形成 1．设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b＝__0__. (3)当a与b同向时，a·b＝　|a||b|　； 当a与b反向时，a·b＝　－|a||b|　. 特别地，a·a＝　|a|2　或|a|＝　　. (4)|a·b|__≤__|a||b|. 2．向量数量积的运算律 (1)a·b＝　b·a　. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝　a·c＋b·c　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积仍然是向量．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)a，b共线⇔a·b＝|a||b|.(　　) (4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知向量a与b的夹角θ＝120°，＝3，＝4，则a·b＝(　　) A．－6　　　　　　 B．－6 C．6 D．6 解析　根据平面向量数量积的定义可得a·b＝cos120°＝3×4×＝－6，故选B. 答案　B 3．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，e是与b同向的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量是(　　) A．－4e B．4e C．－2e D．2e 答案　A 4．若a·b＜0，则a与b的夹角θ的范围是________． 解析　a·b＝|a||b|cos θ＜0 ∵cos θ＜0，又θ∈[0，π]，∴θ∈. 答案　 题型一　向量数量积的运算 [例1]　(1)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，求b1·b2； (2)设正三角形ABC的边长为，＝c，＝a，＝b，求a·b＋b·c＋c·a. [解析]　(1)由题设知|e1|＝|e2|＝1且e1·e2＝，所以b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3e－2e1·e2－8e＝3－2×－8＝－6. (2) 如图，因为|a|＝|b|＝|c|＝，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°， 所以a·b＋b·c＋c·a ＝××cos 120°×3＝－3. [规律方法] 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算． [触类旁通] 1．已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　) A．4　　　　　　　　　　 B．3 C．2 D．0 解析　a·(2a－b)＝2a2－a