6.2.3 向量的数乘运算（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

6．2.3　向量的数乘运算 学业标准 素养目标 1．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义． 2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．(重点) 3．理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题．(难点) 1．借助数乘运算的运算律，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． 2．借助向量共线定理，培养数学运算与逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　向量数乘的定义 　按照向量的加法法则，若a为非零向量，则a＋a的长度与|a|的关系怎样？ [提示]　按三角形法则，|a＋a|＝2|a|. 　我们知道，x＋x＋x＝3x，那么a＋a＋a能否写成3a呢？ [提示]　可以． 　3a与a的方向有什么关系？－3a与a的方向呢？ [提示]　3a与a方向相同．－3a与a方向相反． ◎结论形成 　规定实数λ与向量a的积是一个__向量__，这种运算叫做向量的__数乘__，记作　λa　，其长度与方向规定如下： (1)λa＝　λa　. (2)λa(a≠0) 　 的方向 特别地，当λ＝0时，λa＝　0　. 当λ＝－1时，(－1)a＝－a. 导学2　数乘运算的运算律 1．(1)λ(μa)＝　(λμ)a　. (2)(λ＋μ)a＝　λa＋μa　. (3)λ(a＋b)＝　λa＋λb　. 特别地，(－λ)a＝－λa＝　λ(－a)　，λ(a－b)＝　λa－λb　. 2．向量的线性运算 向量的__加__、__减__、__数乘__运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝　λμ1a±λμ2b　. 导学3　共线向量定理 　如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？ [提示]　方向相同或方向相反或其中一者为零向量． 　根据向量的数乘运算，λa与a(λ≠0，a≠0)的方向有何关系？ [提示]　相同或相反． 　向量a与λa(λ为常数)共线吗？ [提示]　共线． ◎结论形成 　向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使　b＝λa　. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　) (2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(　　) (3)若ma＝mb，则a＝b.(　　) (4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列等式正确的是(　　) A．＝3　　　 B．＝2 C．＝ D．＝2 解析　由题意，AC＝2CB，故＝2. 答案　D 3．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是(　　) A．平行四边形 B．菱形　　C．梯形　 D．矩形 答案　C 4．4(a－b)－3(a＋b)－b＝(　　) A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b 答案　D 题型一　向量的线性运算 [例1]　化简下列各式： (1)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)； (2)(2m－n)a－mb－(m－n)(a－b)(m，n为实数)． [解析]　(1)原式＝a＋b＝0. (2)原式＝2ma－na－mb－m(a－b)＋n(a－b) ＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb ＝ma－nb. [规律方法] 向量线性运算的基本方法 (1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数． (2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算． [触类旁通] 1．化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9； (2)－2； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 解析　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝－a－b ＝a＋b－a－b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 题型二　用已知向量表示未知向量(一题多变) [例2] 　如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又＝，＝，试用a，b表示，，. [解析]　∵＝＝ ＝(－)＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋a－b＝a＋b. ∵＝＝， ∴＝＋＝＋ ＝＝(＋)＝(a＋b)． ∴＝－ ＝(a＋b)－a－b＝a－b. [母题变式] 　 若将本题改为：平行四边形对角线AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，设＝a，＝b，试用a，b表示. 解析　因为DG∥AB， 所以△DFG∽△BFA， 又因为DF＝OD ＝×BD＝BD， 所以＝＝， 所