8.3.2 第1课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

8．3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 学业标准 素养目标 1．通过对圆柱、圆锥、圆台的研究，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的求法．(重点) 2．会求与圆柱、圆锥、圆台有关的组合体的表面积与体积．(重点) 1．借助圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积的计算，培养数学运算素养． 2．通过对圆柱、圆锥、圆台的体积的探究，提升逻辑推理的素养. [教材梳理] 导学　圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 2019年第二届全国青年运动会在山西太原召开，用来进行传递的火炬承载着梦想，传遍华夏大地，火炬外形是细长的圆台形式，燃料为丙烷． 　能否计算出火炬的外层着色需要覆盖多大的面积？ [提示]　可以，即计算圆台的表面积． 　能否计算其内部能装多少液态的丙烷？ [提示]　可以，即计算其容积． ◎结论形成 1．圆柱、圆锥、圆台的表面积 项目 圆柱(底面半径为r，母线长为l) 圆锥(底面半径为r，母线长为l)　　 圆台(上、下底面半径为r′，r，母线长为l)　　　 底面积 S底＝πr2 S底＝__πr2__ S底＝__π(r′2＋r2)__ 侧面积 S侧＝__2πrl__ S侧＝__πrl__ S侧＝__π(r′l＋rl)__ 表面积 S表＝__2πr(r＋l)__ S表＝__πr(r＋l)__ S表＝__π(r′2＋r2__ __＋r′l＋rl)__ 2．圆柱、圆锥、圆台的体积 V圆柱＝__πr2h__(r是底面半径，h是高)， V圆锥＝　πr2h　(r是底面半径，h是高)， V圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆锥的侧面展开图是扇形．(　　) (2)圆锥的体积是同底同高圆柱体积的.(　　) (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面积．(　　) (4)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长有关．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　) A．72　　　　　　 B．42π C．67π D．72π 解析　S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底 ＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π. 答案　C 3．图1中的机械设备叫作“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为(　　) A．100π B．600 C．200π D．300π 解析　由莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，结合已知可得半径为20，由弧长公式求得底面周长，进而可求得结果． 莱洛三角形由三段半径为20，圆心角为的圆弧构成，所以该零件底面周长为3××20＝20π，故其侧面积为200π.故选C． 答案　C 4．若圆锥的底面半径为3，母线长为5，则圆锥的体积是____________． 解析　由已知圆锥的高h＝4， 所以V圆锥＝π×32×4＝12π. 答案　12π 题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 [例1]　(1)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　) A．　　　　　　 B． C． D． (2)已知圆台的上、下底面半径分别是2,6，且侧面面积等于两底面面积之和． ①求圆台的母线长； ②求圆台的表面积． (1)[解析]　设圆柱底面半径为r，则高为2πr， 表面积∶侧面积＝[(2πr)2＋2πr2]∶(2πr)2＝. [答案]　A (2)[解析]　①设圆台的母线长为l，则由题意得 π(2＋6)l＝π×22＋π×62， ∴8πl＝40π，∴l＝5， ∴该圆台的母线长为5. ②由①可得圆台的表面积为 S＝π×(2＋6)×5＋π·22＋π×62 ＝40π＋4π＋36π ＝80π. [规律方法] 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下： (1)得到空间几何体的平面展开图． (2)依次求出各个平面图形的面积． (3)将各平面图形的面积相加． [触类旁通] 1．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 解析　设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3