7.2.2 复数的乘、除运算（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

7．2.2　复数的乘、除运算 学业标准 素养目标 1．结合多项式的乘法了解复数的乘法法则．(难点) 2．理解共轭复数的概念．(重点) 3．能进行复数的除法以及分母实数化．(重点) 1．通过学习复数的乘法和除法，培养学生数学运算素养． 2．通过学习复数乘法运算所满足的运算律，培养学生数学抽象素养. [教材梳理] 导学1　复数的乘法 　两实数可以相乘，两复数可以相乘吗？ [提示]　可以． 　复数代数形式的乘法与多项式的乘法相类似吗？ [提示]　类似． 　 复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法的分配律吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 1．复数的乘法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则它们的积 (a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2 ＝__(ac－bd)＋(ad＋bc)i__. 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有： 交换律 z1z2＝__z2z1__ 结合律 (z1z2)z3＝__z1(z2z3)__ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__z1z2＋z1z3__ 导学2　复数的除法 　 如何规定两复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？ [提示]　通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘c－di，化简后可得结果， 即＝＝ ＝＋i(c＋di≠0)． ◎结论形成 　复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数．(　　) (2)两个共轭复数的和与积是实数．(　　) (3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√ 2．满足＝i(i为虚数单位)的复数z＝(　　) A．＋i　　　　　　 B．－i C．－＋i D．－－i 解析　由＝i，得z＋i＝zi， 所以(1－i)z＝－i，解得z＝＝－i. 答案　B 3．已知复数z1＝(2－i)i，复数z2＝a＋3i(a∈R)，若复数z2＝kz1(k∈R)，则a＝________. 解析　依题意z1＝1＋2i，由z2＝kz1，得a＋3i＝k(1＋2i)，即有故a＝. 答案　 4．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a＝________. 解析　设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2， 即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi， 所以所以a＝. 答案　 题型一　复数的乘法运算 [例1]　计算下列各题． (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. [解析]　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i) ＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. [规律方法] 1．两个复数代数形式乘法的一般方法 (1)首先按多项式的乘法展开． (2)再将i2换成－1. (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 2．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)． (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． (3)(1±i)2＝±2i. [触类旁通] 1．(2022·新高考全国卷Ⅱ)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i　　　　　　 B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝2－2i＋4＝6－2i，故选D. 答案　D 2．(多选题)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的值可以是(　　) A．1 B．－2 C．－3 D．－4 解析　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i， 所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)， 又此点在第二象限， 所以解得a＜－1，所以选B，C，D. 答案　BCD 题型二　复数的除法运算 [例2]　(1)＝(　　) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i (2)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝(　　) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i [解析]　(1)＝＝＝2－i. (2)∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. [答案]　(1)D　(2)A [规律方法] 1．两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式． (2)再将分子、