6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学业标准 素养目标 1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点) 2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(重点、难点) 1．通过实际问题转化为数学问题，培养数学建模等核心素养． 2．借助实际问题中解三角形的计算，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学　测量中的术语 1．基线 在测量过程中，把根据测量的需要而确定的__线段__叫做基线．基线越长，测量的精确度__越高__． 2．仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图． 3．方位角和方向角 从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角．如图，目标A的方位角为135°. 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角，如图，北偏东30°，南偏东45°. 4．视角 观察物体的两端视线张开的角度．如图． 5．坡角与坡度 坡面与水平面所成的二面角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度.如图． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知三角形的三个角，能够求其三条边．(　　) (2)两个不可能到达的点之间的距离无法求得．(　　) (3)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．(　　) (4)为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距30 m的楼的楼顶C处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为(30＋10)m.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　) A．α＞β　　　　　　　 B．α＝β C．α＋β＝90° D．α＋β＝180° 解析　根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B. 答案　B 3．两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a(km)，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为(　　) A．a km B．a km C．a km D．2a km 解析　△ABC中，AC＝BC＝a (km)，∠ACB＝90°， 所以AB＝a (km)． 答案　A 4．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为(　　) A．α＋β B．α－β C．β－α D．α 解析　如图所示，AB表示为建筑物，从地面上C点观察，由已知得∠BCA＝α，∠BCO＝β，则山顶的仰角为∠OCA， ∴∠OCA＝∠BCO－∠BCA＝β－α. 答案　C 题型一　距离问题(一题多解) [例1]　某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离． [解析]　解法一　∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°. ∵∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°， ∴AD＝CD＝a (km)． 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理＝，得 BD＝CD·＝a· ＝a(km)． 在△ADB中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB ＝a2＋2－2·a·a· ＝a2， ∴AB＝a (km)． 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km. 解法二　在△BCD中， ∠CBD＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理，得＝， 则BC＝＝a (km)， 在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°， 所以△ACD为等边三角形． 因为∠ADB＝∠BDC， 所以BD为正△ACD的AC边上的中垂线， 所以AB＝BC＝a (km)． [规律方法] 测量不能到达的两点间的距离的方法及关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方法． (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算． [触类旁通] 1. 如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点之间的距离是(　　) A．20 m　　　　　　 B．20 m C．40 m D．20 m 解析　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°， ∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40 (m)，BC＝＝40(m)． 在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°， ∴∠CAD＝180°－(