6.4.3 第2课时 正弦定理（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

第2课时　正弦定理 学业标准 素养目标 1．掌握正弦定理的内容及其证明方法．(重点、难点) 2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点) 1．通过正弦定理的证明，培养数学抽象等核心素养． 2．借助正弦定理解三角形，提升数学运算、逻辑推理等核心素养． [教材梳理] 导学　正弦定理 如图，在Rt△ABC中，A＝30°，斜边c＝2. 　求△ABC的其他边和角． [提示]　B＝60°，C＝90°，a＝1，b＝. 　试计算，，的值，三者有何关系？ [提示]　＝2，＝＝2，＝2，三者的值相等． 　对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？ [提示]　 是．如图，∵sin A＝， ∴＝c.∵sin B＝，∴＝c. ∵sin C＝1，∴＝＝. 　在钝角△ABC中，B＝C＝30°，b＝，试求其他边和角． [提示]　 如图，△ACD为直角三角形，C＝30°，AC＝， 则AD＝，CD＝， BC＝3，AB＝，∠BAC＝120°. 　问题4中所得数字满足问题3中的结论吗？ [提示]　满足． ◎结论形成 文字 语言 在一个三角形中，各边和它所对角的__正弦__的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径 符号 语言 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则＝　　＝　　＝2R [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形．(　　) (2)在△ABC中必有asin A＝bsin B．(　　) (3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．(　　) (4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　) A．　　 B．　　　 C．　　 D． 解析　由于＝，故＝， 解得sin B＝. 答案　A 3．在△ABC中，a＝5，b＝3，则＝(　　) A． B． C． D． 解析　根据正弦定理，得＝＝. 答案　A 4．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________. 解析　＝＝＝4. 答案　4 题型一　已知三角形两角及一边解三角形 [例1]　在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． [解析]　∵A＝45°，C＝30°， ∴B＝180°－(A＋C)＝105°. 由＝得 a＝＝＝10. 由＝得 b＝＝＝20sin 75°， ∵sin 75°＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝， ∴b＝20×＝5＋5. [规律方法] 已知两角及一边类型的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边． (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边． [触类旁通] 1．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，则c＝________. 解析　在△ABC中，∵cos A＝＞0， ∴sin A＝. ∵cos B＝＞0，∴sin B＝. ∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝×＋×＝. 由正弦定理＝，得c＝＝. 答案　 题型二　已知三角形两边和其中一边的对角解三角形 [例2]　在△ABC中，已知下列条件解三角形： (1)a＝，b＝2，A＝30°； (2)a＝2，b＝，A＝45°； (3)a＝5，b＝2，B＝120°. [解析]　(1)由＝，得sin B＝， ∴sin B＝＝， ∵a<b，∴B>A＝30°，∴B为锐角或钝角， ∴B＝45°或B＝135°. 当B＝45°时，C＝180°－(A＋B)＝105°， ∴c＝＝＝＋1； 当B＝135°时，C＝180°－(A＋B)＝15°， ∴c＝＝＝－1. ∴B＝45°，C＝105°，c＝＋1. 或B＝135°，C＝15°，c＝－1. (2)由＝，得 sin B＝＝＝＝， ∵a>b，∴A>B，∴B必为锐角．∴B＝30°， ∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°. ∴c＝＝＝＝＋1， ∴B＝30°，C＝105°，c＝＋1. (3)由＝，得sin A＝＝ ＝>1， ∴A不存在，故此题无解． [素养聚焦] 利用解三角形时解的个数的判断，把逻辑推理和数学运算等核心素养体现在解题过程中． [易错警示] 已知三角形两边和其中一边的 对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对