6.4.3 第1课时 余弦定理（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

6．4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 学业标准 素养目标 1．掌握余弦定理及其推论．(重点、难点) 2．能应用余弦定理判断三角形的形状．(重点) 1．通过余弦定理的推导，培养数学抽象等核心素养． 2．借助余弦定理解三角形，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学1　余弦定理 在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，A＝60°. 　这个三角形确定吗？ [提示]　确定． 　能否利用平面向量求边BC？如何求得？ [提示]　能． ∵＝－， ∴||2＝||2＋||2－2· ＝||2＋||2－2||||cos A ＝4＋9－2×2×3cos 60°＝7. ∴||＝. 　在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，利用问题2的推导方法，能否推导出用b，c，A表示a? [提示]　能． ◎结论形成 余弦定理 公式 表达 a2＝__b2＋c2－2bccos_A__， b2＝__a2＋c2－2accos_B__， c2＝__a2＋b2－2abcos_C__ 语言 叙述 三角形中任何一边的平方，等于__其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍__ 推论 cos A＝　　， cos B＝　　， cos C＝　　 导学2　解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的__元素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做__解三角形__． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．(　　) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．(　　) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．在△ABC中，a＝5，b＝7，c＝8，则角B＝(　　) A．90°　　　　　　　 B．120° C．60° D．30° 解析　由余弦定理，得 cos B＝＝＝， 又∵0°<B<180°， ∴B＝60°. 答案　C 3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A＝(　　) A．60° B．45° C．120° D．30° 解析　由cos A＝＝－，∴A＝120°. 答案　C 4．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，则A＝____________. 解析　由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝8－4， 所以c＝－. 由余弦定理，得cos A＝＝， 又A为△ABC的内角，所以A＝. 答案　 题型一　已知两边及一角解三角形 [例1]　(1)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　) 　　　　　　　　　　　 A．4 B． C． D．2 (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　) A． B． C．2 D．3 [解析]　(1)因为cos C＝2cos2－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以AB＝4，故选A． (2)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A， 因为cos A＝，所以3b2－8b－3＝0， 所以b＝3.故选D. [答案]　(1)A　(2)D [规律方法] 解决“已知两边及一角”解三角形问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角． [触类旁通] 1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c＝(　　) A．4 B． C．3 D． 解析　cos C＝－cos (A＋B)＝－. 又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C ＝9＋4－2×3×2×＝17， 所以c＝. 答案　D 题型二　已知三角形的三边解三角形(一题多变) [例2]　在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C． [解析]　根据余弦定理，得 cos A＝ ＝＝. ∵A∈(0，π)，∴A＝， cos C＝＝＝， ∵C∈(0，π)，∴C＝. ∴B＝π－A－C＝π－－＝π， ∴A＝，B＝π，C＝. [母题变式] 　已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求△ABC中各角的度数． 解析　已知a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，令a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k(k＞0)， 由余弦定理的推论，得 cos A＝＝＝， ∵0°<A<180°，∴A＝45°. cos B＝＝＝， ∵0°<B<180°，∴B＝60°. ∴C＝180