6.4.1-6.4.2 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 6．4.2　向量在物理中的应用举例 学业标准 素养目标 1．理解用向量方法解决简单的平面几何问题、物理问题及其他一些实际问题．(重点) 2．掌握用向量方法解决问题的步骤，体会向量解决问题的优越性．(难点) 1．通过向量解决平面几何中的问题，培养数学抽象和数学运算等核心素养． 2．借助向量在物理中的应用举例，提升数学建模等核心素养． [教材梳理] 导学1　用向量解决平面几何问题的步骤 　用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为__向量__问题． (2)通过__向量运算__，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“__翻译__”成几何关系． 导学2　用向量解决物理问题的步骤 　用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： (1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． (3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． (4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．(　　) (2)若△ABC为直角三角形，则有·＝0.(　　) (3)若向量∥，则AB∥CD.(　　) (4)物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若向量＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|＝(　　) A．(0,5)　　　　　　 B．(4，－1) C．2 D．5 答案　D 3．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)的合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为________． 答案　(－5,1) 4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________． 答案　－11 题型一　向量在几何中的应用(一题多解) [例1]　 如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E.求BE∶EC． [解析]　解法一　设＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2， 则a·b＝|a||b|cos 60°＝1，＝a＋b. 设＝λ＝λb，则＝－＝λb－a. 由AE⊥BD，得·＝0，即(λb－a)·(a＋b)＝0， 解得λ＝，所以BE∶EC＝∶＝2∶3. 解法二　 以B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设B(0,0)，C(2，0)， 则A，D. 设E(m,0)，则＝， ＝， 由AE⊥BD，得·＝0， 即－×＝0， 解得m＝， 所以BE∶EC＝∶＝2∶3. [规律方法] 用向量方法解决平面几何问题的步骤 [触类旁通] 1. 如图，平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 解析　设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝ ＝＝＝2， 所以5－2a·b＝4，所以a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝1＋4＋2a·b＝6， 所以||＝，即AC＝. 题型二　向量在物理中的应用 [例2]　(1)一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝(　　) A．6　　　　　　　 B．2 C．2 D．2 (2)在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． (1)[解析]　因为物体处于平衡状态， 所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－(F1＋F2)， 所以|F3|＝|F1＋F2|＝ ＝ ＝＝2. [答案]　D (2)[解析]　 设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示． 设||＝|va|，||＝|ω|， ||＝|vb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E， 则∠BAD＝45°. 设||＝150，则||＝75(－)， ∴||＝||＝||＝75，||＝75. 从而||＝150，∠CAD＝30°， ∴|vb|＝150 km/h，方向为北偏西60°. [素养聚焦] 利用平面向量在物理中的应用，把数学建模和数学运算等核心素养体现在解题过程中． [规律方法] [触类旁通] 2．(1)在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ (2)已知