6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

6．3.5　平面向量数量积的坐标表示 学业标准 素养目标 1．掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算． 2．会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(重点、难点) 3．分清向量平行与垂直的坐标表示. 1．通过平面向量数量积的坐标运算，培养数学运算等核心素养． 2．通过数量积的坐标运算求模、夹角等问题，提升逻辑推理、数学抽象等核心素养. [教材梳理] 导学　平面向量数量积的坐标表示 已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 　若i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的向量，则a，b如何用i，j表示？ [提示]　a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. 　|a|，|b|分别用坐标怎样表示？ [提示]　|a|＝＝； |b|＝＝. 　能用a，b的坐标表示a·b吗？ [提示]　a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j) ＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2 ＝x1x2＋y1y2. 　垂直的条件和向量夹角能用坐标表示吗？ [提示]　能． ◎结论形成 1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). 两向量的 数量积 两个向量的数量积等于__它们对应坐标的乘积的和__，即a·b＝__x1x2＋y1y2__ 两向 量垂直 a⊥b⇔__x1x2＋y1y2＝0__ 2.两个重要公式 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的数量积是向量，其坐标为(x1x2，y1y2)．(　　) (2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.(　　) (3)向量的模等于向量坐标的平方和．(　　) (4)||的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．已知向量a＝(1,0)，b＝(－2,2)，则a与b的夹角为(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． 解析　求出两向量的模及数量积，根据cos〈a，b〉＝即可求解． ＝1，＝2，a·b＝－2， 所以cos〈a，b〉＝＝－， 又因〈a，b〉∈， 所以a与b的夹角为.故选D. 答案　D 3．已知a＝(1，)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________. 答案　2 4．a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝________；a·b＝________. 解析　根据坐标求出a＋b，再根据数量积的坐标运算直接计算即可． ∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)， ∴a＋b＝，∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0， ∴a·b＝2×2＋1×＝3. 答案　0　3 题型一　数量积的坐标运算 [例1]　(1)已知a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则a2－(a－b)·b＝(　　) A．8　　　　　　　　 B．3＋ C．28 D．32 (2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝(1，－2)，＝(2,1)，则·＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 [解析]　a2－(a－b)·b＝a2－a·b＋b2＝25－(－4＋6)＋5＝28. (2)由＝＋＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得·＝(2,1)·(3，－1)＝5. [答案]　(1)C　(2)A [规律方法] 数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． [触类旁通] 1．(1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11 (2)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________. 解析　(1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4) ＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2) ＝－5×3＋6×2＝－3. (2)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5， 所以解得 所以c＝. 答案　(1)C　(2) 题型二　向量模的坐标表示 [例2]　(1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|＝(　　) A． B． C． D． (2)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 [解析]　(1)因为a∥b， 所以1·y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝. (2)由＝－＝(1，t－3)， ||＝＝1，得