6.3.2-6.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示（教师用书word）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

6．3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6．3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 学业标准 素养目标 1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点) 2．掌握两个向量的和、差的坐标运算法则．(重点) 1．借助向量的正交分解的学习，培养数学抽象和直观想象等核心素养． 2．通过向量的和、差的坐标运算，提升数学运算等核心素养. [教材梳理] 导学1　平面向量的正交分解及坐标表示 　在平面内，规定{e1，e2}为基底，那么一个向量对e1，e2的分解是唯一的吗？ [提示]　唯一． 　在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？ [提示]　相同． 　如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？ [提示]　一一对应． ◎结论形成 1．在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个__单位向量__分别为i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj.平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作　a＝(x，y)　. 2．在平面直角坐标系中，i＝__(1,0)__，j＝__(0,1)__，0＝__(0,0)__． 导学2　平面向量加、减运算的坐标表示 设a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j. 　a，b的坐标分别是什么？ [提示]　(x1，y1)，(x2，y2)． 　试求a－b的坐标． [提示]　a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j， 所以a－b的坐标为(x1－x2，y1－y2)． ◎结论形成 文字 符号 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__ [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)零向量的坐标是(0,0)．(　　) (2)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．(　　) (3)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) (4)向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4) × 2．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，则b－a＝(　　) A．(－2,1)　　　　　　 B．(2，－1) C．(2,0) D．(4,3) 答案　B 3．已知点A(1，－3)，的坐标为(3,7)，则点B的坐标为(　　) A．(4,4) B．(－2,4) C．(2,10) D．(－2，－10) 解析　设点B的坐标为(x，y)，由＝(3,7)＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)＝(3,7)，得B(4，4)． 答案　A 4．如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________． 解析　由题意知a＝2cos 45°i＋2sin 45°j＝i＋j， 所以a的坐标为(，)． 答案　(，) 题型一　平面向量的坐标表示 [例1]　已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝4，∠xOA＝60°， (1)求向量的坐标； (2)若B(，－1)，求的坐标． [解析]　(1)设点A(x，y)， 则x＝||cos 60°＝4cos 60°＝2， y＝||sin 60°＝4sin 60°＝6， 即A(2，6)，所以＝(2，6)． (2)＝(2，6)－(，－1)＝(，7)． [规律方法] 求点、向量坐标的常用方法 (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标． (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的起点、终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标即得该向量的坐标． [触类旁通] 1. 如图，与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，取{i，j}作为基底，分别用i，j表示，，，并求出它们的坐标． 解析　由图形可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6,2)，＝(2,4)，＝(－4,2)． 题型二　平面向量的坐标运算(一题多解) [例2]　(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　 B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) (2)已知向量a，b的坐标分