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数学探究 用向量法研究三角形的性质
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在三角形中,“四心”是一组特殊的点,它们的向量表达形式具有许多重要的性质,在近年试题中,总会出现一些新颖别致的问题,不仅考查了向量等知识点,而且培养了学生分析问题、解决问题的能力.现就“四心”作如下介绍.
一、“四心”的概念与性质
1.重心:三角形三条中线的交点叫重心.它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1;在向量表达形式中,设点G是△ABC所在平面内的一点,则当点G是△ABC的重心时,有eq \o(GA,\s\up14(→))+eq \o(GB,\s\up14(→))+eq \o(GC,\s\up14(→))=0或eq \o(PG,\s\up14(→))=eq \f(1,3)(eq \o(PA,\s\up14(→))+eq \o(PB,\s\up14(→))+eq \o(PC,\s\up14(→)))(其中P为平面内任意一点);反之,若eq \o(GA,\s\up14(→))+eq \o(GB,\s\up14(→))+eq \o(GC,\s\up14(→))=0,则点G是△ABC的重心.
在向量的坐标表示中,若G,A,B,C分别是三角形的重心和三个顶点,且分别为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则有x=eq \f(x1+x2+x3,3),y=eq \f(y1+y2+y3,3).
2.垂心:三角形三条高线的交点叫垂心.它与顶点的连线垂直于对边;在向量表达形式中,若H是△ABC的垂心,则eq \o(HA,\s\up14(→))·eq \o(HB,\s\up14(→))=eq \o(HB,\s\up14(→))·eq \o(HC,\s\up14(→))=eq \o(HC,\s\u