6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

[基础巩固] 1．若P在Q的北偏东44°50′方向上，则Q在P的(　　) A．东偏北45°10′方向上 B．北偏东45°50′方向上 C．南偏西44°50′方向上 D．西偏南45°50′方向上 解析　如图所示，点Q在点P的南偏西44°50′的方向上． 答案　C 2．海上有A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是(　　) A．10 n mile　　　　 B． n mile C．5 n mile D．5 n mile 解析　如图，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10 (n mile)， 由正弦定理，得＝， ∴BC＝5(n mile)，故选D. 答案　D 3．如图，D，C，B三点在地面同一水平线上，DC＝100 m，从C，D两点测得A点仰角分别是60°，30°，则A点离地面的高度AB＝(　　) A．50 m B．100 m C．50 m D．100 m 解析　因为∠DAC＝∠ACB－∠D＝60°－30°＝30°， 所以△ADC为等腰三角形，所以AC＝DC＝100 (m)， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60°＝50(m)． 答案　A 4.如图，线段AB，CD分别表示甲、乙两楼，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C处的仰角为α＝30°，测得乙楼底部D的俯角为β＝60°，已知甲楼高AB＝24 m，则乙楼高CD＝____________ m. 解析　过A作AE⊥CD(图略)， 垂足为E，ED＝AB＝24 (m)， 则AE＝＝＝8(m)． 在Rt△ACE中，CE＝AE·tan 30°＝8×＝8(m)， ∴CD＝CE＋ED＝8＋24＝32(m)． 答案　32 5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度为________ m. 解析　∠ACB＝180°－45°－75°＝60°， 在△ABC中，＝. ∴BC＝120·＝ (m)， 河宽为BCsin∠CBA＝sin 75°＝20(＋3)(m). 答案　20(＋3) 6.如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值． 解析　如题中图所示，在△ABC中， AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理知， BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2800 ⇒BC＝20 (n mile)． 由正弦定理，得＝⇒ sin∠ACB＝·sin∠BAC＝. 由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角， 则cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝. [能力提升] 7．榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为OT，测量小组选取与塔底O在同一水平面内的两个测量点A和B，现测得∠OBA＝105°，∠OAB＝45°，AB＝45 m，在点B处测得塔顶T的仰角为30°，则塔高OT为(　　) A．15 m B． m C．45 m D． m 解析　先在△AOB中利用正弦定理求OB＝45，再在△BOT中求OT＝OBtan 30°即可． 依题意，在△AOB中，∠AOB＝30°，∴＝，即＝，解得OB＝45. 在△BOT中，＝tan∠OBT＝tan 30°，即OT＝ OBtan 30°＝45×＝15 m．故选A． 答案　A 8．某人从A处出发，沿北偏东60°方向行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地距离为____________ km. 解析　如图所示，由题意可知 AB＝3 (km)，BC＝2 (km), ∠ABC＝150°. 由余弦定理，得 AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7 (km)．则A，C两地距离为7 km. 答案　7 9．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔的距离为____________km. 解析　由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2 (km)，AB＝3 (km)，设B船到灯塔的距离为x，即BC＝x.由余弦定理可知AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，即9＝4＋x2－2×2x×，整理得x2＋2x－5＝0，解得x＝－1－(舍去)或x＝－1＋. 答案　－1 10.如图所示，在社会实践中，