6.4.3 第2课时 正弦定理（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

[基础巩固] 1．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4　　　　　　　 B．2 C． D． 解析　由正弦定理，得＝， 即＝， 所以AC＝×＝2，故选B. 答案　B 2．在△ABC，a＝15，b＝10，A＝45°，则cos B＝(　　) A．± B． C． D．－ 解析　在△ABC中，由正弦定理得＝，代入数据得sin B＝， 因为a>b，所以A>B，所以0°<B<45°，所以cos B>0，所以cos B＝＝.故选C． 答案　C 3．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则(　　) A．B＝45°或135° B．B＝135° C．B＝45° D．以上答案都不对 解析　sin B＝，∵a＞b，∴B＝45°. 答案　C 4．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC是________三角形． 解析　由已知得sin2A－sin2B＝sin2C， 根据正弦定理知sin A＝，sin B＝， sin C＝， 所以2－2＝2， 即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2. 所以△ABC是直角三角形． 答案　直角 5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________. 解析　由正弦定理得sin Bsin A＋sin Acos B＝0. ∵A∈(0，π)，B∈(0，π)， ∴sin A≠0，得sin B＋cos B＝0， 即tan B＝－1，∴B＝. 答案　 6．不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)a＝5，b＝4，A＝120°； (2)a＝7，b＝14，A＝150°； (3)a＝9，b＝10，A＝60°. 解析　(1)sin B＝＝×＜， 所以△ABC有一解． (2)sin B＝＝1，所以△ABC无解． (3)sin B＝＝×＝，而＜＜1， 所以当B为锐角时，满足sin B＝的B的取值范围为60°＜B＜90°； 当B为钝角时有90°＜B＜120°，也满足A＋B＜180°， 所以△ABC有两解． [能力提升] 7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 解析　由asin A－bsin B＝4csin C可得a2－b2＝4c2，又cos A＝＝－，所以2(b2＋c2－a2)＝－bc，又a2－b2＝4c2，所以6c2＝bc，即＝6，故选A． 答案　A 8．在△ABC中，若a＝2bsin A，则B＝________. 解析　由正弦定理得sin A＝2sin B·sin A， ∵sin A≠0，∴sin B＝. 又0<B<180°，∴B＝60°或120°. 答案　60°或120° 9．在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则＋＋＝________. 解析　∵△ABC的外接圆直径为2R＝2， ∴＝＝＝2R＝2， ∴＋＋＝2＋1＋4＝7. 答案　7 10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝bsin A． (1)求B； (2)若cos A＝，求sin C的值． 解析　(1)由asin 2B＝bsin A及正弦定理得 2asin Bcos B＝bsin A＝asin B， 所以cos B＝，所以B＝. (2)由cos A＝，可得sin A＝，则 sin C＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B)＝sin ＝sin A＋cos A＝. [探索创新] 11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2bsin A，求cos A＋sin C的取值范围． 解析　在锐角△ABC中，根据正弦定理，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，其中R为外接圆半径． ∵a＝2bsin A，∴2Rsin A＝4Rsin Bsin A， ∴sin B＝. ∵B为锐角，∴B＝. 令y＝cos A＋sin C＝cos A＋sin[π－(B＋A)] ＝cos A＋sin ＝cos A＋sin cos A＋cos sin A ＝cos A＋sin A＝ ＝sin. 由锐角△ABC知，－B＜A＜， ∴＜A＜. ∴＜A＋＜， ∴＜sin＜， ∴＜sin＜，即＜y＜. ∴cos A＋sin C的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $