6.4.3 第1课时 余弦定理（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

[基础巩固] 1．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，b＝3，c＝2，则A＝(　　) A．30°　　　　　　　 B．45° C．60° D．90° 解析　∵a＝，b＝3，c＝2， ∴由余弦定理，得cos A＝＝＝， 又由A∈(0°，180°)，得A＝60°，故选C． 答案　C 2．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝(　　) A．1 B． C．2 D．4 解析　bcos C＋ccos B ＝b·＋c·＝＝a＝2. 答案　C 3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，当a2＋b2<c2时，△ABC的形状是(　　) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析　cos C＝<0，则C是钝角， 所以△ABC是钝角三角形． 答案　C 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝，c＝2，则b＝________. 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B ＝4＋12－2×2×2×＝4，所以b＝2. 答案　2 5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则C＝________. 解析　由p∥q，得(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0， 即a2＋b2－c2＝ab，故cos C＝＝， 又C∈(0，π)，∴C＝. 答案　 6．在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. 解析　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以49＝64－2bc，即bc＝15, 由解得或 [能力提升] 7．(2021·全国卷Ⅱ)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1 B． C． D．3 解析　利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长． 设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 结合余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B可得 19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝3(a＝－5舍去)， 故BC＝3.故选D. 答案　D 8．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________. 解析　∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ 2accos 120°＝a2＋c2＋ac， ∴a2＋c2＋ac－b2＝0. 答案　0 9．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________. 解析　∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ， ∴a2＋a－2＝0， 即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1，或a＝－2(舍去)． ∴a＝1. 答案　1 10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1. (1)求角C的度数； (2)求AB的长． 解析　(1)cos C＝cos[180°－(A＋B)] ＝－cos(A＋B)＝－. 又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°. (2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根， ∴ ∴AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10， ∴AB＝. [探索创新] 11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0. (1)求角B的大小； (2)若a＋c＝1，求b的取值范围． 解析　(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0， 即有sin Asin B－sin Acos B＝0.① 因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0. 又cos B≠0， 所以tan B＝.又0<B<π，所以B＝. (2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B． 因为a＋c＝1，cos B＝， 有b2＝32＋.② 又0<a<1，于是有≤b2<1， 即有≤b<1. 学科网（北京）股份有限公司 $