6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

[基础巩固] 1．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝(　　) A．(1，－2)　　　　　　　 B．(1,2) C．(5,6) D．(2,0) 解析　b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 答案　A 2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，则与平行且方向相反的向量a可以是(　　) A．(1，－2) B．(9,3) C．(－2,4) D．(－4，－8) 解析　由题意，得＝(1,2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D. 答案　D 3．已知向量e1＝(x,1)，e2＝(x－2,3)共线，则x＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　由题意，3x－(x－2)＝0，解得x＝－1.故选A． 答案　A 4．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2,3)，若＝3a，则点B的坐标为________． 解析　设O为坐标原点，因为＝(－1，－5)，＝3a＝(6,9)，故＝＋＝(5,4)，故点B的坐标为(5,4)． 答案　(5,4) 5．(2021·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. 解析　利用向量平行的充分必要条件得到关于λ的方程，解方程即可求得实数λ的值． 由题意结合向量平行的充分必要条件可得 2×4－λ×5＝0， 解方程可得λ＝.故答案为. 答案　 6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1,1)，c＝(5,2)，m＝λb＋c(λ为常数)． (1)求a＋b； (2)若a与m平行，求实数λ的值． 解析　(1)因为a＝(2,1)，b＝(1,1)， 所以a＋b＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b＝(1,1)，c＝(5,2)， 所以m＝λb＋c＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)． 又因为a＝(2,1)，且a与m平行， 所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1. [能力提升] 7．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析　由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°. 答案　B 8．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________. 解析　由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)． 又与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，则λ＝. 答案　 9．已知两点P1(3,2)，P2(－8,3)，点P，且＝λ，则λ＝________，y＝________. 解析　∵＝＝， ＝＝， 且＝λ， ∴＝λ， ∴解得 答案　　 10．设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1,3)，B(2，－2)，C(4，－1)． (1)若＝，求点D的坐标； (2)设向量a＝，b＝，若ka－b与a＋3b平行，求实数k的值． 解析　(1)设D(x，y)， 由＝，得(2，－2)－(1,3)＝(x，y)－(4，－1)， 即(1，－5)＝(x－4，y＋1)， 所以解得 所以点D的坐标为(5，－6)． (2)因为a＝＝(2，－2)－(1,3)＝(1，－5)， b＝＝(4，－1)－(2，－2)＝(2,1)， 所以ka－b＝k(1，－5)－(2,1)＝(k－2，－5k－1)， a＋3b＝(1，－5)＋3(2,1)＝(7，－2)． 由ka－b与a＋3b平行， 得(k－2)×(－2)－(－5k－1)×7＝0. 所以k＝－. [探索创新] 11．在△AOB中，已知点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标． 解析　设点C坐标为(xC，yC)， 因为点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)， 所以＝(0,5)，＝(4,3)． 因为＝(xC，yC)＝＝， 所以点C.同理点D. 设点M的坐标为(x，y)， 则＝(x，y－5)，而＝， 因为A，M，D三点共线， 所以与共线． 所以－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20. 而＝， ＝＝， 因为C，M，B三点共线，所以与共线． 所以x－4＝0， 即7x－16y＝－20. 解得 所以点M的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $