6.2.4 向量的数量积（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

[基础巩固] 1．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，则a·b＝(　　) A．1　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析　a·b＝1×2×cos ＝1，故选A． 答案　A 2．(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　由题设，|a－2b|＝3，得|a|2－4a·b＋4|b|2＝9，代入|a|＝1，|b|＝，有4a·b＝4，故a·b＝1.选择C． 答案　C 3．已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，e是与a同向的单位向量，则向量b在a方向上的投影向量为(　　) A．4e B．－4e C．2e D．－2e 解析　向量b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉e ＝4×cos 120°e＝－2e. 答案　D 4．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________. 解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cos θ＝， 又|a|＝1，|b|＝3， 所以a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝1， 所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11. 答案　11 5．已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________． 解析　设a与b的夹角为θ，由(a＋2b)·(a－b)＝－2，得|a|2＋a·b－2|b|2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2， 解得cos θ＝，所以θ＝. 答案　 6．已知＝1，＝2，·＝－3. (1)求a与b的夹角θ； (2)求. 解析　(1)由题意：·＝2a2＋3a·b－2b2＝2＋3×1×2×cos θ－8＝－3， 得cos θ＝，又0≤θ≤π，因此θ＝. (2)∵2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2×＋4＝12，因此＝2. [能力提升] 7．在△ABC中，AB＝6，O为△ABC的外心，则·＝(　　) A． B．6 C．12 D．18 解析　如图，过点O作OD⊥AB于D，可知AD＝AB＝3， 则·＝(＋)· ＝·＋· ＝3×6＋0＝18，故选D. 答案　D 8．(多选题)若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且＝1，＝2，＝3，则＝(　　) A． B．3 C．5 D．6 解析　由平面向量a，b，c两两的夹角相等，得夹角为0°或120°， 当夹角为0°时，|a＋b＋c|＝＝＝ ＝6，选项D正确； 当夹角为120°时，|a＋b＋c|＝＝＝ ＝，选项A正确．故选A，D. 答案　AD 9．已知|a|＝|b|＝|c|＝1且满足3a＋mb＋7c＝0，其中a，b的夹角为60°，则实数m＝________. 解析　因为3a＋mb＋7c＝0， 所以3a＋mb＝－7c， 所以(3a＋mb)2＝(－7c)2得 9＋m2＋6ma·b＝49， 又a·b＝|a||b|cos 60°＝， 所以m2＋3m－40＝0， 解得m＝5或m＝－8. 答案　5或－8 10．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9. (1)求a与b之间的夹角θ； (2)向量e是与a＋b同向的单位向量，求向量a在a＋b上的投影． 解析　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9， 即16－4a·b－3＝9， ∴a·b＝1，∴cos θ＝＝. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7， 即|a＋b|＝. 设a与a＋b的夹角为α，e是与a＋b同向的单位向量， 则向量a在a＋b上的投影向量为 |a|cos αe＝|a|×e＝e ＝e＝e＝e. [探索创新] 11．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，＝2. (1)若四边形ABCD是矩形，求·的值； (2)若四边形ABCD是平行四边形，且·＝6，求与夹角的余弦值． 解析　(1)因为四边形ABCD是矩形， 所以·＝0， 由＝2，得＝，＝＝－. 所以·＝· ＝· ＝2－·－2 ＝36－×81＝18. (2)由题意，＝＋＝＋ ＝＋， ＝＋＝＋＝－， 所以·＝· ＝2－·－2 ＝36－·－18＝18－·. 又·＝6， 所以18－·＝6， 所以·＝36. 又·＝||||cos θ＝9×6×cos θ ＝54cos θ， 所以54cos θ＝36，即cos θ＝. 所以与夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $