6.2.4向量的数量积（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）

6.2.4向量的数量积 (精讲） 目录 一、必备知识分层透析 二、重点题型分类研究 题型1: 与向量数量积有关的概念 题型2：向量的夹角 题型3：平面向量的数量积 题型4：向量的投影 题型5：向量垂直问题 题型6：利用平面向量数量积求向量的模 题型7：利用平面向量的模求参数 题型8：利用平面向量数量积求最值 三、高考（模拟）题体验 一、必备知识分层透析 知识点1：平面向量数列积的物理背景 如图,一个物体在力F的作用下产生了位移s,且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功. 其中是F在物体位移方向上的分量的数量,也就是力F在物体位移方向上正投影的数量. 从物理角度来看数量积的意义,有利于理解数量积的概念,两个向量的数量积可以运算,其结果是一个数量. 知识点2：向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量,,是平面上的任意一点,作,,则叫做向量与的夹角. (2)向量的夹角范围. (3)特殊情况： ①，与同向； ②，与垂直，记作； ③，与反向. 知识点3：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 特别提醒: （1）“·”是数量积的运算符号,既不能省略不写,也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量,不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角决定:当是锐角时,数量积为正；当是钝角时,数量积为负；当是直角时,数量积等于零. （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 特别提醒: ①为向量在上的投影的数量； ②为向量在上的投影的数量； ③投影的数量（）是一个值，不是向量. 知识点4：平面向量数量积的性质 设,是非零向量,它们的夹角是,是与方向相同的单位向量,则 ①.  ②. ③当与同向时,； ④当与反向时,； ⑤ 或； ⑥； ⑦. 知识点5：向量数量积的运算律 ①交换律： ②对数乘的结合律： ③分配律： ④ ⑤ 二、重点题型分类研究 题型1: 与向量数量积有关的概念 典型例题 例题1．（2022·全国·高三专题练习）设为非零向量，则“”是“存在整数，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例题2．（2022春·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习）如图，的外接圆圆心为，，，则（    ） A． B． C．3 D．2 例题3．（2022春·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知边长为2的等边三角形，则___________． 例题4．（2022·河南·马店第一高级中学校联考模拟预测）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则________． 同类题型演练 1．（2022·全国·高二专题练习）“平面向量，平行”是“平面向量，满足”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 2．（2022秋·湖北武汉·高一校联考期末）在中，是边上的点，且为的外心，则（    ） A．3 B． C． D． 3．（2022春·山东临沂·高三统考期中）已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量），，则___________. 4．（2022春·江苏南通·高三海安高级中学期中）已知为单位向量，向量在上的投影向量为，且，则______． 题型2：向量的夹角 典型例题 例题1．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知向量满足，且，则夹角为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2022春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知，则（    ） A．0 B． C． D． 例题3．（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）已知分别是与轴、轴方向相同的单位向量，，，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题4．（2022·全国·高三专题练习）平面向量，满足，，则与夹角最大值为______． 例题5．（2022秋·安徽亳州·高一安徽省利辛县第一中学校考阶段练习）已知平面向量满足，，且的夹角为． (1)若，求实数的值； (2)计算，夹角的余弦值． 同类题型演练 1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（2022春·江西赣州·高三校联考阶段练习）已知向量满足，则与的夹角为_______________． 3．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）已知非零向量满足，则的夹角大小是_________． 4．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）已知向量､的夹角为，且，设，. (1)