6.2.3 向量的数乘运算（作业）-2022-2023学年新教材高中数学必修第二册【精讲精练】人教A版

[基础巩固] 1.＝(　　) A．2a－b　　　　　　 B．2b－a C．b－a D．a－b 解析　原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b. 答案　B 2．已知＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3(a－b)，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析　＝＋＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝，又∵与有公共点B，∴A，B，D三点共线． 答案　B 3．设四边形ABCD中，有＝3且||＝||，则这个四边形是(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析　因为＝， 所以AB∥DC且AB≠DC， 所以四边形ABCD是梯形，又||＝||， 所以四边形ABCD是等腰梯形． 答案　C 4．已知点C在线段AB上，且＝，则＝____________. 解析　如图，因为＝，且点C在线段AB上， 则与同向，且||＝||，故＝. 答案　 5．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________. 解析　因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反， 所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)⇒k＝8λ，2＝λk⇒k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0⇒k＜0)． 答案　－4 6．如图所示，已知＝，用，表示. 解析　＝＋＝＋ ＝＋(－)＝－＋. [能力提升] 7．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 解析　对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ.故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AC∥BD，故a与b不一定共线． 答案　AB 8．若||＝2||，且＝λ，则λ＝________. 解析　(1)当点C在线段的延长线上时，如图． 则＝2，则λ＝2. (2)当点C在线段上时，如图． 则＝－2，即λ＝－2.综上，λ＝±2. 答案　±2 9．在△OAB中，已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°，则|a－b|＝________. 解析　∵|a|＝|b|，∴OA＝OB. 又∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形， ∴BA＝4，∴|a－b|＝|－|＝||＝4. 答案　4 10．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f. (1)用e，f表示； (2)证明：四边形ABCD为梯形． (1)解析　＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f. (2)证明　因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的模为的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形． [探索创新] 11.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求λ的值． 解析　(1)由A是BC的中点，则有＝(＋)， 从而＝2－＝2a－b； 由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得＝， 从而＝－＝(2a－b)－b＝2a－b. (2)由于C，E，D三点共线，则＝μ， 又＝－＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，＝2a－b， 从而(2－λ)a－b＝μ，又a，b不共线，则解得λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $