2023年九年级中考数学复习 一元二次方程培优讲练

一元二次方程培优讲练 资料编号:202302091032 在领着学生们进行一元二次方程的全章复习时,遇到了几道很有难度但质量不错的题目,完全可以作为优秀学生的培优题目,这里讲解一下,并附上对应的练习题,希望对大家有帮助. 例1. 已知实数同时满足,,则的值是【 】 （A）1 （B）1 , （C） （D） 分析 根据学生反馈过来的信息,本题为易错题,容易错选答案（B）,而正确答案为（A）,说明学生没有排除这个值. 本题给出的两个条件均为关于的等式,所以的值是相互约束的,故对得到的两个值要进行检验.至于之间存在怎样的约束,见下面的讲解过程. 解: ∵,∴ ∵,∴≥0,解之得:≥ 把代入并整理得: 解之得:,（不符合题意,舍去） ∴的值是1.选择答案【 A 】. 例2. 若关于的方程只有正实数根,则的取值范围是【 】 （A）≤≤0 （B）≤ （C）≤0 （D） 分析 根据题目条件我们不能确定该方程是否为一元二次方程,所以要对二次项系数进行讨论.学生们没有注意到这一点,把方程按一元二次方程对待,从而得到错误的结果（B）,显然,这是考虑问题不全面导致的. 解: 分为两种情况: ①当时,,解之得:,符合题意; ②当时,方程为一元二次方程,且有两个正实数根,于是: ,解之得:≤. 综上所述,的取值范围是≤≤0.选择答案【 A 】. 例3. 已知实数满足,,则的值是【 】 （A） （B） （C）或2 （D）或2 分析 根据学生反馈过来的信息,本题容易错选答案（A）,而正确答案为（D）,说明学生漏掉了一个值,也是考虑问题不全面导致. 由题目条件,我们可以构造出一元二次方程,该方程有两个不相等的实数根,所以实数是该方程的两个不相等的实数根或是其中的一个实数根.这两种情况学生都要考虑到,很可惜的是学生们只注意到了第一种情况,忽视了第二种情况. 解: 由题意可知:实数是一元二次方程的两个实数根,分为两种情况: ①当实数是方程的两个不相等的实数根时,由根与系数的关系可得: ∴; ②当时（此时都等于方程两个不相等的实数根中的其中一个） . 综上所述,的值是或2.选择答案【 D 】. 例4. 若关于的方程有四个不同的解,则实数的取值范围是___________. 分析 本题难度较高,几乎没有学生能做出来.这里需要说明的是,题目中的方程并非关于的一元二次方程,但问题的解决需要用到一元二次方程的知识:我们要想办法把原方程转化为一元二次方程,并探究转化得到的一元二次方程解的情况. 下面的解答需要用到一个知识点:一元二次方程有两个正实数根的条件是: . 类似地,我们也可以得出一元二次方程有两个负实数根的条件,这里不再给出. 解: 原方程可化为: 设,则有 ∵方程有四个不同的解 ∴的值必为两个不同的正数,故关于的方程必有两个不相等的正实数根 ∴,解之得:. ∴实数的取值范围是. 点评 如何解一元二次不等式?下面提供两种解法: 方法一: 即 ∴或 解之得:或 ∴一元二次不等式的解集为或. 方法二: 函数的图象如图所示: 由函数图象可知:不等式的解集 为或 ∴不等式的解集为或 . 例5. 已知关于的方程. （1）证明:不论为何值时,方程总有实数根; （2）当为何整数时,方程有两个不相等的整数根. 分析 （1）根据题目条件我们不能确定该方程是否为一元二次方程,所以要对二次项系数进行讨论; （2）对含参方程进行求解,用参数表示方程的根,再由题目条件确定参数的值. （1）证明: 当时,,解之得:,符合题意; 当时,≥0,此时方程有实数根. 综上所述,不论为何值时,方程总有实数根; （2）解: ∴ ∵为整数,为整数 ∴ ∵方程有两个不相等的整数根 ∴ ∴的值为或2或. 例6. 综合与探究 如果关于的方程有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,那么称这样的方程是“邻根方程”.例如:一元二次方程的两个根是,,则方程是“邻根方程”. （1）通过计算,判断下列方程是否是“邻根方程”: ①; ②. （2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”,求的值; （3）若关于的一元二次方程（是常数,且）是“邻根方程”,令,请化简. 解:（1）①解方程得:,该方程不是“邻根方程”; ②解方程得: ∵ ∴该方程是“邻根方程”. （2）即 解之得: ∵该方程是“邻根方程” ∴或,解之得:或; （3）解方程得: ∵,且该方程是“邻根方程” ∴ ∴ 整理得: 两边分别平方得: ∴ ∴,解之得:≤ ∵ ∴ ∴（≤）. 练习 1. 已知实数满足,则的值是【 】 （A）2 （B） （C）5或