专题01 向量加减及数乘运算-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题01向量加减及数乘运算 题型归类 题型一：向量加法运算及其几何意义 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型二：向量加法的运算律 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型三：向量加法的应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型四：向量减法运算及其几何意义 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型五：向量减法的运算律 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型六：用已知向量表示未知向量 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型七：向量的线性运算 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型八：共线定理的应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型九：三点共线问题 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 难点突破 突破点一：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|的应用 突破点二：三点共线的一个重要结论 突破点三：平面向量与三角形“四心” 突破点四：向量加减法中的探索问题 突破点五：用向量方法证明几何问题 突破点六：向量共线与基本不等式 突破点七：向量线性运算与平面几何综合 一、题型归类 【题型一】向量加法运算及其几何意义 1★★（单选）如图所示，在平行四边形ABCD中，＋＋＝(　　) A. B. C. D. 【解析】＋＋＝＋(＋)＝＋0＝。 故选C. 2★★★（单选）如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　) A. B. C. D. 【解析】以OP，OQ为邻边作平行四边形，如图所示，则＋＝， 由和的模相等，方向相同， 得＝，即＋＝. 故选C. 3★★（多选）在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是(　　) A.＝ B.＋＝ C.＝＋ D.＋＝ 【解析】因为＝＋≠＋，所以C错误. ＋＝，D错误，A，B正确. 故选AB. 4★★（填空）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)： (1)＋＝________； (2)＋＝________； (3)＋＋＝________． 【解析】 由已知可得四边形DFCB为平行四边形． (1)易知＝. 由三角形法则得＋＝＋＝. (2)易知＝， 所以＋＝＋＝. (3)＋＋＝＋＋＝. 5★★（解答）如图①所示，求作向量和a＋b； (2)如图②所示，求作向量和a＋b＋c。 【解析】(1)首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b。如图所示， (2)解法一：(三角形法则) 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求。 解法二：(平行四边形法则) 如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b，再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求。 【方法技巧】 1．应用三角形法则应注意的问题 使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点． 2．应用平行四边形法则应注意的问题 (1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和． (2)基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量． 【题型二】向量加法的运算律 1★★（单选）下列向量的运算结果为零向量的是(　　) A.＋ B.＋＋ C.＋＋＋ D.＋＋＋ 【解析】＋＝＋＝；＋＋＝＋＝；＋＋＋＝＋＋＝；＋＋＋＝＋＋＋＝0。故选D。 2★★★（单选）在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则向量＋＋的长度为(　　) A．2 B．4 C．12 D．6 【解析】因为＋＝，所以＋＋的长度为的模的2倍。又||＝＝2，所以向量＋＋的长度为4。 故选B. 3★★（多选）对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为的是(　　) A.＋＋ B.＋＋ C.＋＋ D.＋＋ 【解析】在A中，＋＋＝＋＝； 在B中，＋＋＝＋＝； 在C中，＋＋＝＋＝； 在D中，＋＋＝＋＝. 故选AB. 4★★（填空）设|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为________，_______