第17章 勾股定理 导学案 2022—2023学年人教版数学八年级下册

初二数学 勾股定理 导学案 班级：___________ 小组：___________ 姓名：___________ 勾股定理 单元概述 【单元内容】 勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征.通过对勾股定理的学习，在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。勾股定理及其逆定理是沟通代数与几何的桥梁，发挥了非常重要的作用,也着及其广泛的应用，是平面几何乃至整个数学中最重要的定理之一. 【课标要求】 1.探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题； 2.结合具体实例，会区分命题的条件和结论。了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 【单元目标】 1.探索直角三角形三边的数量关系，用自己的话说出勾股定理及其逆定理的内容和两者之间的关系，构建单元知识体系； 2.利用拼图、计算等方法探究勾股定理及其逆定理的证明过程，并初步运用解决线段长度及直角三角形判定问题； 3.应用勾股定理和勾股定理的逆定理，解决三角形面积及最短路径问题； 4. 围绕勾股定理核心概念进行重构过关，应用直角三角形、方程模型解决水深问题. 【学习导航】 本单元通过在方格纸上计算面积探索勾股定理的活动，用拼图的方法验证勾股定理，经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现的过程，同时也渗透了代数运算与几何图形之间的关系，能让我们更好地认识勾股定理、发展推理能力。限于已学的知识，本章更多的关注的是对勾股定理的理解和实际应用，利用勾股定理解决一些涉及无理数运算的实际问题。 勾股定理 【学习目标】 1.通过观察、测量、归纳,猜想直角三角形三边的数量关系，用自己的话说出勾股定理及其逆定理的内容和两者之间的关系； 2.梳理勾股定理及其逆定理之间的关系，并构建知识体系； 3.举例说出对逆命题、逆定理的概念的理解. 【学习任务】认识数的扩充过程 学习活动1 ——感知勾股定理的学习价值 问题情境：.因为刮大风，一颗小树折断了倒在了地上，如右图所示，树折断处离地面6米，树顶倒下的地方距树8米，小树原来的高度是多少米. 问题1：学习了三角形的三边关系，已知三角形的任意两个边长我们可以求出第三边的范围大小，能否求出具体的大小呢？需要添加什么条件呢？ 问题情境：我们知道实数和数轴上的点存在一一对应关系，在数轴上我们很容易找到表示有理数的点，如何在数轴上找到表示像的无理数的点呢？ 学习活动2 ——感知勾股定理的学习背景 毕达哥拉斯树是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 有一次毕达哥拉斯去朋友家作客，发现朋友家用砖铺成的地面反映直角三角形三边的某种数量关系.同学们，观察下面的图案，你能发现什么？ 问题1：如图，三个正方形的面积有什么关系？ 问题2：由此，你发现等腰直角三角形的三边之间有怎样的数量关系？ 【归纳生成】 谈一谈对勾股定理的认识 学习活动3 ——构建单元初步体系 梳理勾股定理的探索过程以及相关内容，构建本单元的单元初步体系。 勾股定理 【学习目标】 1.探究勾股定理，归纳勾股定理验证的基本思想； 2.探究勾股定理及逆定理的简单应用，解决简单的线段的长度及直角三角形的判断问题； 3.借助勾股定理在数轴上确定某一无理数的位置. 【学习任务】 探究勾股定理及其逆定理 ——探究勾股定理学习活动1 在前面，我们已经猜想并结合面积关系探索证明了在等腰直角三角形中的三边关系，除此之外，对于一般的直角三角形，你还能验证三边关系是否成立呢？ 动手实践：用硬纸片剪八个全等的直角三角形纸片，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，在纸上画出两个边长均为a+b的正方形，按图1和图2的方法分别将他们摆进正方形内．① ② ③ 问题1：那小正方形①、②、③的面积分别是多少？由此你发现直角三角形的两条直角边a，b与斜边c之间有怎样的数量关系？ 问题2：2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它像一个转动的风车，旋转着手臂，欢迎来自世界各地的数学家.但同时，其设计理念来自于中国古代著名的数学定理——勾股定理。 如图，观察四个全等的直角三角形摆成所示的正方形的形成过程,你能用它来解释勾股定理吗？请写出证明过程.你还有其他证明勾股定理得方法吗？如果有请画出图形，写出证明过程 . 【归纳生成】