7.2复数的四则运算综合训练- 2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

试题资源网 https://stzy.com 7.2节综合训练 1．复数z＝－i的三角形式是(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 2．4(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 150°＋isin 150°)＝(　　) A．6 ＋6i B．6 －6i C．－6 ＋6i D．－6 －6i 3．任何一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，我们把r(cos θ＋isin θ)叫做复数的三角形式．已知z＝cos ＋isin ，则下列结论正确的是(　　) A．z2的实部为1 B．z2＝z－1 C．z2＝z D．|z2|＝2 4．把复数3－i对应向量绕原点O按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为(　　) A．2 B．－2 i C．－3－ i D．3－i 5．(多选)[江苏盐城2022高一学情调研]任何一个复数z＝a＋bi(其中a，b∈R，i为虚数单位)都可以表示成z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：对于z＝r(cos θ＋isin θ)，zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)(n∈N*)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是(　　) A．|z2|＝|z|2 B．当r＝1，θ＝时，z3＝－1 C．当r＝2，θ＝时，z＝1－i D．当r＝1，θ＝时，若n为偶数，则复数zn为纯虚数 6．已知复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别为α，β，则tan(α＋β)＝________． 7．若复数z满足＝，arg ＝，则z的代数形式是z＝________． 8．÷3(cos 120°－isin 300°)＝________． 9．把复数z1与z2对应的向量，分别绕原点O按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数形式和它的辐角的主值． 10．已知复数z满足|z|＝1，且z2－2az＋a2－a＝0(a∈R)，求负实数a的值． 答案及解析 1．【答案】C 【详解】－i＝×[－]＝ 2＝2(cos ＋isin )，故选C. 2．【答案】D 【详解】4(cos 60°＋isin 60°)×3(cos 150°＋isin 150°)＝12[cos(60°＋150°)＋isin(60°＋150°)]＝12(cos 210°＋isin 210°)＝12(－－i)＝－6 －6i.故选D. 3．【答案】B 【详解】已知z＝cos ＋isin ，则z＝＋i，故z2＝2＝－＋i.对于A，z2的实部是－，不是1，故A错误；对于B，z－1＝－＋i＝z2，故B正确；对于C，z＝－i≠z2，故C错误；对于D，|z2|＝＝1≠2，故D错误．故选B. 4．【答案】C 【详解】因为3－i＝2 ·，其对应向量绕原点O按顺时针方向旋转后，所得向量对应的复数为2 [cos＋isin]＝－3－i.故选C. 5．【答案】AB 【详解】对于A选项，z＝r(cos θ＋isin θ)，则z2＝r2(cos 2θ＋isin 2θ)，可得|z2|＝|r2(cos 2θ＋isin 2θ)|＝r2，|z|2＝|r(cos θ＋isin θ)|2＝r2，A选项正确； 对于B选项，当r＝1，θ＝时，z3＝(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ＝cos π＋isin π＝－1，B选项正确； 对于C选项，当r＝2，θ＝时，z＝2(cos＋isin)＝＋i，则z＝－i，C选项错误； 对于D选项，当r＝1，θ＝时，zn＝(cos θ＋isin θ)n＝cos nθ＋isin nθ＝cos＋isin，取n＝4，此时n为偶数，则z4＝cos π＋isin π＝－1，不是纯虚数，D选项错误．故选AB. 6．【答案】1 【详解】由题意，复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别为α，β， 则tan α＝，tan β＝，所以tan(α＋β)＝＝＝1. 7．【答案】1＋i 【详解】设＝z0，则|z0|＝，arg z0＝，∴z0＝＝＋i，∴＝＋i，解得z＝1＋i. 8．【答案】－i 【详解】÷3(cos 120°－isin 300°)＝(cos 60°＋isin 60°)÷3(cos 120°＋isin 120°)＝[cos(60°－120°)＋isin(60°－120°)]＝[cos(－60°)＋isin(－60°)]＝＝－i. 9．【答案】由复数乘法的几何意义得z1(cos＋isin)＝z2. 又z2＝－1－i＝2， 所以z1＝ ＝2[cos(3π－)＋isin] ＝2 ＝－＋i， 因此