专题20 作平行线和作垂线构造相似三角形的技巧-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题20 构造相似三角形的技巧（原卷版） 技巧一 做平行线构造“A”型相似 典例1（邵阳中考）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N． 【问题引入】 （1）若点O是AC的中点，，求的值； 温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G． 【探索研究】 （2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：••1； 【拓展应用】 （3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若，，求的值． 变式训练 1．（2022•郫都区模拟）如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G． （1）求证：GF＝BF； （2）若EB＝1，BC＝4，求AG的长； （3）在BC边上取点M，使得BM＝BE，连接AM交DE于点O．求证：FO•ED＝OD•EF． 2．（2018•黄石）在△ABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）． （1）如图1，若EF∥BC，求证： （2）如图2，若EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若EF上一点G恰为△ABC的重心，，求的值． 技巧二 做平行线构造“X”型相似 典例2（2021春•招远市期末）探究：某学校数学社团遇到这样一个题目：如图①，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝3，BO：CO＝1：3，求AB的长． 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，连接BD，如图②所示，通过构造△ABD就可以解决问题． 请你写出求AB长的过程． 应用：如图③，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝1：3．若AO＝3，请你求出AB的长． 针对训练 1．（2019•乐山）在△ABC中，已知D是BC边的中点，G是△ABC的重心，过G点的直线分别交AB、AC于点E、F． （1）如图1，当EF∥BC时，求证：1； （2）如图2，当EF和BC不平行，且点E、F分别在线段AB、AC上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． （3）如图3，当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由． 2．（2021秋•简阳市 期中）如图1，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，BD＝2DC，E为线段AD上一点，∠BED＝∠BAC． （1）求证：∠ABE＝∠CAD； （2）过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，试探索AE与CF的数量关系； （3）如图2，若AD＝BD，AB＝6，求CE的长． 技巧三 作垂线构造直角三角形相似 典例3（2017•台江区校级自主招生）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝6，BC＝3，DE⊥AB于E，AC交DE于F． （1）求AE•AB的值； （2）若CD＝4，求的值． 变式训练 1．如图，△ABC中，AB＝AC，E、F、G分别是BC、AB、AC上一点，∠FEG＝2∠B． （1）求证：∠BFE＝∠AGE； （2）若，求的值． 技巧四 作垂线构造“三垂直”型相似 典例4（2020•浙江自主招生）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为（　　） A．2 B． C． D． 变式训练 1．（2022秋•通川区期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA，求BD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 构造相似三角形的技巧（解析版） 技巧一 做平行线构造“A”型相似 典例1（邵阳中考）如图1所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N． 【问题引入】 （1）若点O是AC的中点，，求的值； 温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G． 【探索研究】 （2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：••1； 【拓展应用】 （3）如图2所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若，，求的值． 思路引领：（1）作AG∥MN交BN延长线于点G，证△ABG∽△MBN得，即，同理由△ACG∽△OCN得，结合AO＝CO得NG＝CN，从而由可得答案； （2）由、知••••1； （3）由（2）知，在△ABD中有••1、在△ACD中有••