专题26 立体图形的直观图-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题26 立体图形的直观图 1．斜二测画法 我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面． (2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段． (3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半． 3．空间几何体直观图的画法 (1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴． (2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面． (3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变． (4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线. 4．画平面图形的直观图的技巧： (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点． (2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段． 5．直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可． 6．直观图与原图形面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′. 利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积． 题型一 平面图形的直观图 1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　) A．原来相交的仍相交　　　　 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 解析：B 2．下列关于直观图的说法不正确的是(　　) A．原图形中平行于y轴的线段，对应线段平行于直观图中y′轴，长度不变 B．原图形中平行于x轴的线段，对应线段平行于直观图中x′轴，长度不变 C．画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时，∠x′O′y′可以画成45° D．在画直观图时，由于选轴的不同所画直观图可能不同 解析：选A.平行于y轴的线段，直观图中长度变为原来的一半，故A错． 3． 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示． 解析：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示． (2)画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②. (3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③. 4．用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图．(其中O，E分别为线段AB，DC的中点) 解析：(1)画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. (2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y′轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD. (3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图． 5．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的(　　) 解析：由斜二测画法的规则可知，该平面图形为直角梯形，又因为第一象限内的边平行于y′轴，故选C. 6．对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是(　　) A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形 C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形 解析：选B.根据斜二测画法的要求知，正方形的直观图为平行四边形． 7．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(　　) A．直角三角形的直观图仍是直角三角形 B．梯形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是菱形 D．平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析：由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有D正确． 8．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为(　　) A．2 cm