专题21 复数的三角表示-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题21 复数的三角表示 1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 2．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 题型一 复数的代数形式与三角形式的互化 角度一　代数形式化为三角形式 1．把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)＋i；(2)－i. 解析：(1)r＝＝2，因为＋i对应的点在第一象限， 所以cos θ＝，即θ＝，所以＋i＝2. (2)r＝＝2，cos θ＝，又因为－i对应的点位于第四象限， 所以θ＝.所以－i＝2. 2．复数－i的三角形式是(　　) A．cos＋isin　　 B．cos ＋isin C．cos －isin D．cos ＋isin 解析：选A.－i＝cos π＋isin π＝cos＋isin＝cos＋isin. 3．复数1－i的辐角的主值是(　　) A.π　　　　　　　　 B.π C.π D. 解析：选A.因为1－i＝2＝2，所以1－i辐角的主值为π. 4．设复数z1＝1＋i，z2＝＋i，则的辐角的主值是_________________． 解析：由题知，z1＝2，z2＝2， 所以的辐角的主值为－＝. 5．下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式． (1)；(2)－；(3)； (4)cos ＋isin ；(5). 解析：根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式． (1)原式＝； (2)原式＝＝； (3)原式＝＝； (5)原式＝. 6．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是(　　) A．150° B．40° C．－40° D．320° 解析：选D.sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos 320°＋isin 320°. 7．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为(　　) A．4 B.－4 C．2π－4 D.－4 解析：选D.sin 4＋icos 4＝cos＋isin. 8．如果θ∈，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是(　　) A. B.[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)] C. D. 解析：选A.因为1＋i＝，cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ)＝ ＝. 9．已知z＝cos ＋isin ，则argz2＝________． 解析：因为argz＝，所以argz2＝2argz＝2×＝. 10．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为(　　) A. B.或 C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：选D.因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ，所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1， 所以θ＝＋kπ，(k∈Z)． 11．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－ D．－ 解析：因为z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，argz＝，所以，所以a＝－1，故选B. 12．设π<θ<，则复数的辐角的主值为(　　) A．2π－3θ B．3θ－2π C．3θ D．3θ－π 解析： ＝＝cos 3θ＋isin 3θ. 因为π<θ<，所以3π<3θ<，所以π<3θ－2π<，故选B. 角度二　三角形式化为代数形式 1．分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)4；(2)(cos 60°＋isin 60°)；(3)2. 解析：(1)复数4的模r＝4，辐角的主值为θ＝. 4＝4cos ＋4isin ＝4×