专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲）-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.5 离散型随机变量的数字特征（重难点题型精讲） 1．离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： 则称E(X)=+++++为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称 期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是 不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 2．均值的性质 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. 特别地，当a=0时，E(b)=b； 当a=1时，E(X+b)=E(X)+b； 当b=0时，E(aX)=aE(X). 3．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 则称D(X)=+++=为随机变量X 的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程 度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 4．方差的有关性质 当a，b均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=D(X). 特别地，当a=0时，D(b)=0；当a=1时，D(X+b)=D(X)； 当b=0时，D(aX)=D(X). 5．两点分布的均值与方差 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 【题型1 均值的性质】 【方法点拨】 根据均值的性质，进行求解即可. 【例1】（2022春·广东广州·高二期末）设离散型随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=0.6，P(X=2)=0.2，则=（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式1-1】（2022春·北京大兴·高二期末）已知离散型随机变量的期望，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2022春·河北保定·高二阶段练习）已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（2022春·江苏镇江·高二期中）已知X的分布列为： X -1 0 1 P a 设Y=2X+1，则Y的数学期望E(Y)的值是(   ) A． B． C． D． 【题型2 方差的有关性质】 【方法点拨】 根据题目条件，结合方差的有关性质，进行转化求解即可. 【例2】（2022春·重庆沙坪坝·高二阶段练习）设X，Y为随机变量，且，则（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 【变式2-1】（2022春·山东淄博·高二期末）已知随机变量X的方差为，则（    ） A．9 B．3 C． D． 【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知随机变量X的分布列如下： 2 3 6 P a 则的值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．18 【变式2-3】（2022春·河北·高二校联考期中）已知随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P n m 若，则（    ） A．6 B．7 C．20 D．21 【题型3 离散型随机变量的均值的求法】 【方法点拨】 第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值； 第二步，求X取每个值时的概率； 第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值. 【例3】（2022秋·上海金山·高三期中）已知某随机变量X的分布为 则等于（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式3-1】（2022春·北京顺义·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表，则X的数学期望等于（    ） X 0 1 2 P 0.2 a 0.5 A．0.3 B．0.8 C．1.2 D．1.3 【变式3-2】（2022春·江苏徐州·高二期中）设为正实数，若随机变量的分布列为，则（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式3-3】（2022春·江苏连云港·高二期末）已知离散型随机变量X的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.64 q2 1－2q 则E(X)=（    ） A．0.56 B．0.64 C．0.72 D．0.8 【题型4 离散型随机变量的方差、标准差】 【方法点拨】 第一步，理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值； 第二步，求X取每个值时的概率； 第三步，写出X的分布列，由均值的定义来求均值. 第四步，