专题7.3 离散型随机变量及其分布列（重难点题型精讲）-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.3 离散型随机变量及其分布列（重难点题型精讲） 1．随机变量与离散型随机变量 (1)随机变量 ①定义：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们 称X为随机变量. ②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. ③随机变量与函数的关系 联系：随机变量与函数都是一种对应关系，样本点相当于函数定义中的自变量，样本空间相当于 函数的定义域. 区别：样本空间不一定是数集，随机变量的取值X()随着试验结果的变化而变化，而函数是从非 空数集到非空数集的一一对应. (2)离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，称为离散型随机变量. 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为，，，，我们称X取每一个值的概率P(X=)= ，i=1，2，，n为X的概率分布列，简称分布列. (2)分布列的表格表示 分布列也可以用等式形式表示为P(X=)=，i=1，2，，n，还可以用图形表示. (3)离散型随机变量分布列具有的两个性质 ①0，i=1，2，，n； ②+++=1. 3．两点分布 (1)两点分布的定义 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X= 如果P(A)=p，则P()=1-p，那么X的分布列如下表所示. 我们称X服从两点分布或0—1分布. (2)两点分布理解 两点分布的试验结果只有两个可能值，且其概率之和为1.可设任意一个为0，另一个相应为1. 【题型1 离散型随机变量】 【方法点拨】 根据离散型随机变量的定义来判断所给的随机变量是不是离散型随机变量. 【例1】（2022春·北京·高二期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（    ） ①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数； ②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离； ③某同学射击3次，命中的次数； ④某电子元件的寿命； A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式1-1】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二期中）下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ； ②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η； ③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X； ④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y； 其中是离散型随机变量的为（    ） A．①② B．③④ C．①③ D．②④ 【变式1-2】（2022·高二课时练习）①某座大桥一天经过的车辆数为X； ②某通信公司官方客服一天内接听电话的总次数为X； ③一天之内的温度为X； ④一射手对目标进行射击，命中得1分，未命中得0分，用X表示射手在一次射击中的得分. 上述问题中的X是离散型随机变量的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1-3】（2022春·山东·高二阶段练习）下列X是离散型随机变量的是（    ） ①某座大桥一天经过的车辆数X； ②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η； ③一天之内的温度X； ④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分. A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【题型2 离散型随机变量的分布列及其性质】 【方法点拨】 根据题目条件，结合离散型随机变量的分布列的性质，进行转化求解即可. 【例2】（2022春·山西吕梁·高二期中）设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（    ）A．1 B． C． D． 【变式2-1】（2022春·黑龙江哈尔滨·高二期末）随机变量的分布列如表：则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【变式2-2】（2022春·西藏林芝·高二期末）已知随机变量X的分布列如表：（其中a为常数） X 1 2 3 4 5 6 P 0.1 0.1 a 0.3 0.2 0.1 则等于（    ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式2-3】（2022春·河北唐山·高二期末）若随机变量的分布列如下表所示，则的值为（      ） 1 2 3 0.2 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【题型3 求离散型随机变量的分布列】 【方法点拨】 第一步，确定随机变量X的可能取值； 第二步，求出相应的概率P(X=)=； 第三步，写分布列. 【例3】（2022·高二课时练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8，0.7，他们各自投篮1次，设两人命中总次数为X，则X的分布列为（    ） A． X 0 1 2 P 0.08 0.14 0.78 B． X