专题7.1 条件概率与全概率公式（重难点题型精讲）-2022-2023学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题7.1 条件概率与全概率公式（重难点题型精讲） 1．条件概率 (1)条件概率的定义 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(BA)=为事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率，简称条件概率. (2)性质 设P(A)>0，为样本空间，则 ①P(BA)∈[0,1]，P(A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪CA)=P(BA)+P(CA)； ③设​​​​​​​和B互为对立事件，则P(A)=1-P(BA). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(BA). 3．全概率公式及应用 (1)全概率公式 一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ， n，则对任意的事件BΩ，有P(B)=()·P().我们称此公式为全概率公式. (2)全概率公式的意义 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一 个划分Ω=∪∪∪，，，，两两互斥，将，，，看成是导致B发生的一组原 因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，，P()，再利用全概率公式求 解. 4．贝叶斯公式 设，，，是一组两两互斥的事件，∪∪∪=Ω，且P()>0，i=1，2, ，n，则对 任意的事件BΩ，P(B)>0，有P()=. 贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P()已知; (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P()已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(). 【题型1 条件概率的计算】 【方法点拨】 用定义法求条件概率P(B|A))的步骤： (1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式P(B|A)=求解. 【例1】某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2023秋·湖南长沙·高三阶段练习）为参加学校组织的“喜迎二十大，奋进新征程”的演讲比赛，某班从班级初选的甲乙2名男生和6名女生共8名同学中随机选取5名组成班级代表队参加比赛，则代表队中既有男生又有女生的条件下，男生甲被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋·全国·高三阶段练习）已知某品牌电视机使用寿命超过15000小时的概率为0.95，而使用寿命超过30000小时的寿命的概率为0.85，则已经使用了15000小时的这种电视，使用寿命能超过30000小时的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2023·河南信阳·高三期末）某车间加工同一型号零件，第一､二台车床加工的零件分别占总数的40%，60%，各自产品中的次品率分别为6%，5%.记“任取一个零件为第i台车床加工”为事件，“任取一个零件是次品”为事件B，则（    ） ①    ②    ③    ④ A．①②④ B．②③④ C．②③ D．①②③④ 【题型2 概率的乘法公式】 【方法点拨】 根据题目条件，利用概率的乘法公式，进行求解即可. 【例2】（2022春·重庆沙坪坝·高二期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（     ） A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75 【变式2-1】（2023秋·全国·高三阶段练习）某精密仪器易因电压不稳损坏，自初装起，第一次电压不稳仪器损坏的概率为.若在第一次电压不稳仪器未损坏的条件下，第二次电压不稳仪器损坏的概率为，则连续两次电压不稳仪器未损坏的概率为（    ） A．0.72 B．0.7 C．0.2 D．0.18 【变式2-2】（2022春·上海普陀·高二期末）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2022春·广西河池·高二期末）已知某种传染性病毒使人感染的概率为0.75，在感染该病毒的条件下确诊的概率为0.64，则感染该病毒且确诊的概率是（    ） A．0.40 B．0.45 C．0.48 D．0.50 【题型