专题20 复数的乘、除运算-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题20 复数的乘、除运算 1．复数乘法的运算法则和运算律 (1)复数乘法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 2．复数除法的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)(a，b，c，d∈R)， 则＝＝＋i(c＋di≠0)． 3．常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； (3)(1±i)2＝±2i；(4)＝－i；(5)＝i；(6)＝－i. 4．记住几个常用结论： (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*) (2)(1±i)2＝±2i. (3)若z＝⇔z是实数；若z＋＝0，则z是纯虚数；z·＝||2＝|z|2. 题型一 复数的乘法运算 1．计算： ①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；②(3＋4i)(3－4i)；③(1＋i)2. 解析：①(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i. ②(3＋4i)(3－4i)＝32－(4i)2＝9－(－16)＝25. ③(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i. 2．(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝________． 解析：(4－i)(6＋2i)－(7－i)(4＋3i)＝(24＋8i－6i＋2)－(28＋21i－4i＋3)＝(26＋2i)－(31＋17i)＝－5－15i. 3．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝(　　) A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i 解析：选D.因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i. 4．下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　) A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i) 解析：A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数． B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数． C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数． D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C. 5．(1－i)(1＋i)＝(　　) A．1＋i　　　　　　　　 B．－1＋i C.＋i D．－＋i 解析：选B.(1－i)(1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝(1－i2) ＝2＝－1＋i. 6．若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b＝(　　) A．－2　　　　　　　　　　 B．－ C. D．2 解析：选D.因为(1＋bi)(2＋i)＝2－b＋(2b＋1)i是纯虚数，所以b＝2. 7．复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是 ． 解析：(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5. 8．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　) A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i 解析：由题意＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i，故选A. 9．设复数z＝1＋bi(b∈R)且z2＝－3＋4i，则z的共轭复数的虚部为(　　) A．－2 B．－2i C．2 D．2i 解析：z2＝(1＋bi)2＝1－b2＋2bi＝－3＋4i，所以，所以b＝2，故z＝1＋2i，＝1－2i. 故选A. 10．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i， 又∵z1·∈R，∴4t－3＝0，∴t＝. 11．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1)　　　　　 B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1 12．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i) ＝4＋3i，求z. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由已知得，(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4