专题18 复数的几何意义-2022-2023学年高一数学同步备好课之题型全归纳（人教A版2019必修第二册）

专题18 复数的几何意义 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量. 3．复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模． (2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝. 4．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (3)复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi． 题型一 复数与复平面内的点 1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限. 2．实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m－3)＋(m2－5m－14)i的点： (1)位于第四象限； (2)位于第一、三象限； (3)位于直线y＝x上． 解析：(1)由题意得解得3<m<7，此时复数z对应的点位于第四象限． (2)由题意得或所以m>7或－2<m<3， 此时复数z对应的点位于第一、三象限． (3)要使复数z对应的点在直线y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3， 所以m2－6m－11＝0，所以m＝3±2，此时复数z对应的点位于直线y＝x上． 3．已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i，其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．(1)在实轴上；(2)在第三象限． 解析：(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝. (2)若z对应的点在第三象限，则有解得－1<a<.故a的取值范围是. 4．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z. 解析：(1)若复数z的对应点在虚轴上，则m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0. (2)若复数z的对应点在实轴负半轴上，则所以m＝1，所以z＝－2. 5．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点． (1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上． 分别求实数m的取值范围． 解析：复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2. (1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1. (2)由题意得∴∴－1＜m＜1. (3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，∴m＝2. 6．求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． 解析：(1)点Z在复平面的第二象限内，则解得a＜－3. (2)点Z在x轴上方，则即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. 7．求当实数m为何实数时，复平面内表示复数z＝(1－m)＋(4－m2)i的点位于(1)虚轴上；(2)第二象限；(3)直线3x－y＋1＝0上． 解析：∵m为实数，∴1－m,4－m2都是实数， ∴复数z＝(1－m)＋(4－m2)i对应的点的坐标为(1－m，4－m2)． (1)复数z对应的点位于虚轴上，则解得m＝1. (2)复数z对应的点位于第二象限，则∴故1＜m＜2. (3)复数z对应的点位于直线3x－y＋1＝0上，则3(1－m)－(4－m2)＋1＝0，解得m＝0或m＝3. 8．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)对应的点在第一象限，求实数m的取值范围． 解析：因为z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i对应的点在第一象限，所以 解得m＜或m＞，即实数m的取值范围是m＜或m＞. 9．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－3，1)　　　　　　　 B．(－1，3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：选A.由题意得解得－3<m<1. 10．已知z＝(m2－1)＋mi在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(－∞，1) 解析：由z在复平面内对应的点在第二象限，得解得0<m<1.所以实数m的取值范围是(0,1)． 11．在复平面内，复数z＝5a＋(6－a2)i，表示其共轭复数的点在第三象限，则实数a满足(　　) A．－<a<0 B．a<－ C．0<a<