第17章 一元二次方程——专题4 一元二次方程解法题型总结 2022—2023学年沪科版八年级数学下册

一元二次方程解法 【解法1 直接开平方法】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤: ①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【例1】若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 【例2】解方程： x2＝9 4x2﹣25＝0 4（2x﹣1）2﹣36＝0 （y+2）2＝（3y﹣1）2 【例3】方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则a（x+m+2）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝1 B．x1＝﹣4，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝x2＝﹣2 【变式1】若方程（x﹣1）2＝m+1有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0 【变式2】若（4x﹣3）2＝m+3无实数解，则m的取值范围是　 　． 【变式3】若关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（﹣x﹣m+1）2+b＝0的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣2 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝3，x2＝﹣2 D．x1＝3，x2＝0 【变式4】解方程： 4x2﹣13＝12 （y+2）2﹣6＝0 【解法2 配方法】 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【例1】用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　） A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x+2）2＝1 D．（x﹣2）2＝1 【例2】用配方法解方程： x2﹣6x+4＝0 x2﹣5x+1＝0 x2+2＝2x 【变式1】用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D． 【变式2】用配方法解方程： 2t2﹣3t﹣2＝0 3y2﹣4y+1＝0 3x2+1＝2x 【练习1】把x2﹣3x+1＝0的左边配方后，方程可化为（　　） A． B． C． D． 【练习2】将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad﹣bc，上述记号就叫做2阶行列式．若8x，则＝　 　． 【例3】一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c和m的值分别是（　　） A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8 【变式】已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（　　） A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5 C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7 【练习】如果x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝0可以配方成（　　） A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1 C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝6 【例4】我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1． ∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2+1≥1．即：x2+2x+2≥1． 试利用“配方法”解决以下问题： （1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝　 　，常数B＝　 　； （2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值； （3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小． 【变式】阅读下列材料： 利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式， 例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2•x•4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1． 根据以上材料，解答下列问题： （1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x