第17章 一元二次方程——专题3一元二次方程概念题型总结 2022—2023学年沪科版八年级数学下册

一元二次方程基本概念 【知识点1 一元二次方程基本概念】 1定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程. 注意：①整式方程；②一个未知数；③未知数最高次数为2. 2一元二次方程的一般形式：形如ax²+bx+c=0（a≠0）的方程叫做一元二次方程； 注意：①a≠0，b、c为任意实数；②a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项；③判断一个方程是否为一元二次方程时必须化简为一般形式进行判断，即化简为ax²+bx+c=0（a≠0）. 3一元二次方程的解：满足等式成立的未知数的值. 注意：①判断未知数的值是否为方程的解时只需代入后看等式是否成立；②告知方程的解时只需代入方程即可；③一元二次方程正常有两个解. 【例1】下列方程中：①3x2+x﹣20＝0；②x2﹣3x＝4；③2x2﹣3xy+4＝0；④x24；⑤x23＝2x（x+1）．其中一元二次方程共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】已知（m﹣1）x|m+1|+2mx+4＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　． 【例3】关于x的方程3x2﹣2（3m﹣1）x+2m＝15有一个根为﹣2，则m的值等于（　　） A．2 B． C．﹣2 D． 【例4】若关于x的一元二次方程（a）x2﹣（4a2﹣1）x+1＝0的一次项系数为0，则a的值为　 　． 【变式1】下列方程中：①x2﹣2x﹣1＝0；②3x﹣5＝0；③﹣x2＝0；④（x﹣1）（x﹣3）＝x2；⑤（x﹣1）2+y2＝2；⑥ ax2+bx+c＝0一元二次方程共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】若关于x的方程（a﹣1）7x+3＝0是一元二次方程，则a＝　 　． 【变式3】关于x的方程（m2﹣4）x2+（m﹣2）x﹣2＝0，当m满足　 　时，方程为一元二次方程，当m满足　 　时，方程为一元一次方程． 【变式4】若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．± 【练习1】下面关于x的方程中：①ax2+bx+c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2＝1；③x25＝0；④x2+5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0．是一元二次方程个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【练习2】方程(m+1) x |4m|-2 ＋ 3mx－1＝0是关于x的一元二次方程，则m =________． 【练习3】已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是________．　 　 【练习4】若是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，c的值是（　　） A．2 B． C．﹣1 D．1 【练习5】若t是方程ax2+2x+c＝0（a≠0）的一个根，设P＝1﹣ac，Q＝（at+1）2，则P与Q的大小关系正确的是（　　） A．P＜Q B．P＝Q C．P＞Q D．不确定 【练习6】阅读理解： 定义：如果关于x的方程（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与（a2≠0，a2、b2、c2是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个方程互为“对称方程”．比如：求方程2x2﹣3x+1＝0的“对称方程”，这样思考：由方程2x2﹣3x+1＝0可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个方程的“对称方程”． 请用以上方法解决下面问题： （1）填空：写出方程x2﹣4x+3＝0的“对称方程”是　 　． （2）若关于x的方程5x2+（m﹣1）x﹣n＝0与﹣5x2﹣x＝1互为“对称方程”，求（m+n）2的值． 【例5】已知m是方程x2-5x-6=0的一个根,则代数式11+5m-m2的值是　　　　. 【变式1】若a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5 【变式2】若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2023的值为（　　） A．2023 B．﹣2023 C．2022 D．﹣2022 【练习】已知a是方程x2﹣2023x+1＝0的一个根，则的值为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【例6】若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax2﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定 【变式1】关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2023＝0满足a+b＝2023，则方程必有一根为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【变式2】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2022，则一元二