考点04 平面向量与三角形的“四心”6种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高一数学题型归纳与解题策略(人教A版2019必修第二册)

考点04 平面向量与三角形的“四心”6种常见考法归类 三角形的内心、外心、垂心与重心问题，尤其是与平面向量相结合后，学生考查时感觉比较棘手，错误率较高，甚至无从下手。因此，本讲将对与“四心”有关的知识进行总结归纳，借助典型例题说明解题要领。 四心的概念介绍： （1）重心：三条中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：三条角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直． 策略1 三角形的内心 1、内心的定义：三个内角的角平分线的交点（或内切圆的圆心).如图，点P 注：角平分线上的任意点到角两边的距离相等 2、 常见内心的向量表示： （1）（或） 其中分别是的三边的长 （2），则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） 3、破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。 拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心． 【解析】证明：、分别表示与、方向相同的单位向量， 的方向与的角平分线方向一致； 又， ； 的方向与的角平分线方向一致， 点的轨迹一定通过的内心． 策略2 三角形的外心 1、 外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点（或外接圆的圆心） 注：外心到三角形各顶点的距离相等. 2、 常用外心的向量表示： （1） （2） 变形：P为平面ABC内一动点，若，则为三角形的外心 3、破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心。 策略3 三角形的“重心” 1、重心的定义：三边中线的交点（重心是中线上的三等分点）.如图,点G 注：重心将中线长度分成 2、常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. （1） （2），，， （3）若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心； 3、破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 策略4 三角形的“垂心” 1、垂心的定义：三条高线的交点，如图，点O 注：高线与对应边垂直 2、常见垂心的向量表示 （1） 证明：因为，所以，所以， 同理可得，，所以O为垂心 （2） 策略5 奔驰定理 奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 奔驰定理在三角形四心中的具体形式 是的重心 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 是的内心 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 是的外心 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 是的垂心 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 备注：奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用． 考点一 三角形的重心判断及应用 （一）三角形重心的判断 （二）重心性质的应用 考点二 三角形的外心判断及应用 （一）三角形外心的判断 （二）外心性质的应用 考点三 三角形的内心判断及应用 （一）三角形内心的判断 （二）内心性质的应用 考点四 三角形的垂心判断及应用 （一）三角形垂心的判断 （二）垂心性质的应用 考点五 三角形的“四心”问题的综合 考点六 奔驰定理的应用 考点一 三角形的重心判断及应用 （一）三角形重心的判断 1．（2023·高一课时练习）已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得， 又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果. 【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心. 故选：C. 2．（2022·全国·高一专题练习）O是ABC所在平面上的一点，若（其中P为平面上任意一点），则点O是ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】将化简得出，取BC中点M，连接OM，则利用向量的运算法则