培优课——恒成立、能成立问题课件-2023届高三数学一轮复习

培优课——恒成立、能成立问题 第五章 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 2022 探究点一 由不等式恒成立求参数的值(取值范围) 当x∈(0,x0)时,φ'(x)>0,故φ(x)在区间(0,x0)上单调递增,且φ(0)=0, 从而φ(x)在区间(0,x0)上大于零,这与sin x-ax<0恒成立相矛盾. 当a≤0时,在区间(0, )上φ'(x)>0,即函数φ(x)单调递增,又φ(0)=0,故sin x-ax>0恒成立,这与sin x-ax<0恒成立相矛盾. 故实数a的最小值为1. 探究点二 不等式能成立求参数的值(取值 【例2】 已知函数f(x)=x2-(2a+1)x+aln x(a∈R). (1)若f(x)在区间[1,2]上是单调函数,求实数a的取值范围; (2)函数g(x)=(1-a)x,若∃x0∈[1,e]使得f(x0)≥g(x0)成立,求实数a的取值范围. 解 (1)f'(x)= ,当导函数f'(x)的零点x=a落在区间(1,2)内时,函数f(x)在区间[1,2]上不是单调函数,即a∉(1,2),所以实数a的取值范围是(-∞,1]∪[2,+∞). (2)由题意知,不等式f(x)≥g(x)在区间[1,e]上有解, 即x2-2x+a(ln x-x)≥0在区间[1,e]上有解. 因为当x∈[1,e]时,ln x≤1≤x(不同时取等号),x-ln x>0, 规律方法　1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法 a≥f(x)在x∈D上能成立,则a≥f(x)min; a≤f(x)在x∈D上能成立,则a≤f(x)max. 2.含全称、存在量词不等式能成立问题 (1)存在x1∈A,任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max; (2)任意x1∈A,存在x2∈B,使f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. 学以致用·随堂检测全达标 4.已知函数f(x)=ax-ln x,若f(x)>1在区间(1,+∞)内恒成立,则实数a的取值范围为　　　　　.  答案 [1,+∞)　 优化设计小本 $