培优课——构造函数法解决导数问题课件-2023届高三数学一轮复习

培优课——构造函数法解决导数问题 第五章 高中同步学案优化设计 GAO ZHONG TONG BU XUE AN YOU HUA SHE JI 2022 探究点一 构造函数比较大小 A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案 D 变式训练2 已知函数f(x)=x+aex(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当x<0,a≤1时,证明:x2+(a+1)x>xf '(x). (2)证明设F(x)=x2+(a+1)x-xf'(x)=x2+ax-axex=x(x+a-aex). 设H(x)=x+a-aex,则H'(x)=1-aex. ∵x<0,∴0<ex<1, 又a≤1,∴1-aex≥1-ex>0. ∴H(x)在(-∞,0)上为增函数,则H(x)<H(0)=0, 即x+a-aex<0. 由x<0可得F(x)=x(x+a-aex)>0, 所以x2+(a+1)x>xf'(x). 探究点三 构造函数解不等式 【例3】 若函数y=f(x)的定义域为R,对于∀x∈R,f'(x)<f(x),且f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为(　　) A.(2,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,2) 答案 B 由f'(x)<f(x),可得f'(x)-f(x)<0, 所以g'(x)<0,函数g(x)在R上是减函数. 由f(x+1)为偶函数,可得函数f(x)关于直线x=1对称, 又f(2)=1,所以f(0)=1,所以g(0)= =1, 不等式f(x)<ex,可化为 <1,即g(x)<g(0),所以x>0,即不等式f(x)<ex的解集为(0,+∞). 学以致用·随堂检测全达标 4.已知a,b为实数,且b>a>e,其中e为自然对数的底数,求证:ab>ba. 证明∵b>a>e, ∴要证ab>ba,只需证bln a>aln b. 设f(x)=xln a-aln x(x>a),则f'(x)=ln a- . ∵x>a>e,∴ln a>1,且 <1,∴f'(x)>0. ∴函数f(x)=xln a-aln x在(a,+∞)上单调递增. ∵b>a>e,∴f(b)>f(a)=aln a-aln a=0, 即bln a-aln b>0,∴bln a>aln b,即ab>ba. 小本 更多精彩内容请登录志鸿优化网 http://www.zhyh.org/ 本 课 结 束 $