5.3.2.2函数的最大(小)值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.3.2.2 函数的最大(小)值 复习回顾 回顾1 极大值、极小值的概念是什么？ * 复习回顾 回顾2 如何求函数的极值？ * 新课导入 * 思考1：如图是函数 ， 的图象，你能找出它的极大值、极小值吗？进一步地，你能找出函数 在区间 上的最大值、最小值吗？ 函数的最值 a x1 x2 x3 x4 x5 x6 b x y O 观察图象，我们发现， ， ， 是函数的极小值， ， ， 是函数的极大值. 进一步地，函数 在区间 上的最小值是 ，最大值是 . 思考2.如图，观察 上的函数 和 的图象，它们在 上有最大值和最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ a b x y O a b x y O x1 x2 x3 x4 x5 函数 在区间 上的最小值是 ，最大值是 ； 函数 在区间 上的最小值是 ，最大值是 . 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值． 函数最值的理解 (1)函数的最值是一个整体性的概念．函数极值是在局部上对函数值的比较，具有相对性；而函数的最值则是表示函数在整个定义域上的情况，是对整个区间上的函数值的比较． (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值，则最大值或最小值只能各有一个，具有唯一性，而极大值和极小值可能多于一个，也可能没有，例如：常数函数就既没有极大值也没有极小值． 知识梳理 三.新课探究 函数最值 一般地，对于函数f(x)，给定区间I， 若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值； 若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 求函数在闭区间上的最值 求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤： 1．求函数 在(a，b)内的极值； 2．将函数 的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值． 解： x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3 f′(x) f(x) 例6 x y O 4 2 3 求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下： (2) 将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 方法归纳 (1) f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值； 例题讲解 * 新知讲解 * 1.利用导数解决与函数相关的问题： 解： 例7 解： 例7 x y O 1 -1 -2 • • • 解： 例7 x y O 1 -1 -2 • • • 由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质. 通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象： (1) 求出函数f(x)的定义域； (2) 求导数f′(x)及函数f′(x)的零点； (3) 用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值； (4) 确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5) 画出f(x)的大致图象. 问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 （1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 解： （1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 由题意可知，每瓶饮料的利润是 因此， 如果我们不用导数工具，直接从函数 f(r)的图象（右图）上观察，你有什么发现？ 从图象上容易看出，当 r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3 cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 r>3时，利润才为正值. 答：（1）半径为6 cm时，利润最大. （2）半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值. 2．[含参的函数最值问题]已知a∈R，函数f(x)＝x2(x－a)．求函数y＝f(x)在区间[1,2]上的最小值． 课堂小结 课堂小结 注： (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得.有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必