5.3.2.1函数的极值课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

复习导入 l l l 新知探索 l 新知探索 l 新知探索 l 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质. l 例析 l l 例析 l 新知探索 思考1：极大值一定大于极小值吗？ l 导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗？ 提示： 一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件. (3) 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小. 注意： (1) 极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值； (2) 函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； 即f ′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件. (4) 对于可导函数，若x0是极值点，则 f '(x0)=0; 反之，若f '(x0)=0，则x0不一定是极值点. f′(x) >0 f′(x) =0 f′(x) <0 极大值 f′(x) <0 f′(x) =0 极小值 f′(x) >0 判断f (x0)是极大值或是极小值的方法： 左正右负为极大，左负右正为极小 左增右减为极大，左减右增为极小 x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) x x0左侧 x0 x0右侧 f′(x) f(x) O a x0 b x y O a x0 b x y 增 减 增 减 求可导函数f(x)极值的步骤： (2) 求导数f ′(x)； (3) 求方程f ′(x)=0的根； (4) 把定义域划分为部分区间，并列成表格： 检查f ′(x)在方程根左右的符号： 如果左正右负（左增右减）， 那么f(x)在这个根处取得极大值； 如果左负右正（左减右增）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 练习 题型三：函数极值的应用 练习 练习 练习 练习 课堂小结 注： (1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值. (2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个. (3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系. (4)函数的极值点一点出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. (5)单调函数一定没有极值. 课堂小结 课堂小结 角度2　含参数的函数求极值 【例2】已知函数f(x)= x3-(a+1)x2+4ax+2(a为实数),求函数f(x)的极值. 分析对函数f(x)求导,得到f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a),根据导函数的零点2和2a的大小,分类讨论函数的单调性,根据函数的单调性确定函数的极值. 解 ∵f(x)= x3-(a+1)x2+4ax+2, ∴f'(x)=x2-2(a+1)x+4a=(x-2)(x-2a). 令f'(x)=0,解得x=2或x=2a. (1)当a=1时,2a=2,因此f'(x)=(x-2)2≥0,故f(x)在R上单调递增,函数不存在极值; 优化设计大本 (2)当a<1时,2a<2,当x变化时,f(x),f'(x)随x的变化情况如下表: x (-∞,2a) 2a (2a,2) 2 (2,+∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 变式训练 2若函数f(x)=x-aln x(a∈R),求函数f(x)的极值. 解 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= (1)当a≤0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数f(x)无极值. (2)当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a. 当0<x<a时,f'(x)<0; 当x>a时,f'(x)>0. 则f(x)在x=a处取得极小值,且f(a)=a-aln a,无极大值. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值; 当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值. 变式训练 3(2)(2021湖南长沙湖南师大附中高二月考)已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处取得极值0,则m+n=(　　) A.4 B.11 C.4或11 D.3或9 角度2　根据极值点个数求参数取值范围 【例4】已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围. 分析f(x)在(1,+∞)内有两个极值点,等价于f'(x)=0在(1,+∞)内有两个