5.2.1-5.2.2导数的运算课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.1 基本初等函数的导数 情境导入 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤： 2.算比值： 1.求增量： 3.取极限： 求导数不能每次都求极限，有没有更直接出结果的方法？ 如何利用定义求出 y＝c ，y＝x，y＝x2， 的导数？ 新课引入 课堂探究 1 、求函数y=c (c 是常数)的导数. y x = f(x+x)-f(x) x = c-c x =0, y′= lim x→0 y x =0, = lim x→0 0 y' = 0 表示函数 y = c 图像上每一点处的切线的斜率都为0． 若 y = c 表示路程关于时间的函数，则 y' = 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． o x y 函数 导数 y = c y' = 0 2 、求函数y＝f(x)=x的导数. y x = f(x+x)-f(x) x = x x+x-x =1, y′= lim x→0 y x =1, = lim x→0 1 o x y 函数 导数 y = x y' = 1 y' = 1 表示函数 y = x 图像上每一点处的切线的斜率都为1． 若 y = x 表示路程关于时间的函数，则 y' = 1 可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 3、求函数y＝f(x)=x2的导数. y x = f(x+x)-f(x) x = x (x+x)2-x2 =2x+x, y′= lim x→0 y x =2x, = lim x→0 (2x+x) 函数 导数 y = x2 y' = 2x o x y y' = 2x 表示函数 y = x2 图像上点(x, y)处的切线的斜率都为2x，说明随着 x 的变化，切线的斜率也在变化． 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当 x＜0时，随着 x 的增加，函数 y = x2 减少得越来越慢；当x＞0时，随着 x 的增加，函数 y = x2 增加得越来越快． 4、求函数y＝f(x)=x3的导数. y x = f(x+x)-f(x) x = x (x+x)3-x3 =3x2+3x·x+(x)2, o x y y′= lim x→0 y x =3x2, = lim x→0 (3x2+3x·x+(x)2) 函数 导数 y = x3 y' = 3x2 y'=3x2表示函数y=x3的图象上点(x,y)处切线的斜率为3x2,这说明随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 5、求函数y＝f(x)= 的导数. 1 x y x = f(x+x)-f(x) x = x x+x 1 x 1 - - x2+x·x 1 = y′= lim x→0 y x - x2+x·x 1 ( ) = , = lim x→0 1 x2 - 函数 导数 y = y' =- 1 x 1 x2 知识梳理 1.几个常用函数的导数 公式形成 思考：以上这些函数均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？   思考：还有哪些基本初等函数？它们的导数是什么？ 幂函数 指数函数 三角函数 对数函数 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (1)f(x)＝c f′(x)＝0 (2)f(x)＝xn(n∈Q) f′(x)＝n·xn－1 (3)f(x)＝sinx f′(x)＝cosx (4)f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx (5)f(x)＝ax f′(x)＝axlna (6)f(x)＝ex f′(x)＝ex (7)f(x)＝logax f′(x)＝ (8)f(x)＝lnx f′(x)＝ 题型一　利用导数公式求函数的导数 例1　求下列函数的导数： (1)y＝sin ；(2)y＝5x；(3)y＝ ；(4)y＝ ；(5)y＝log3x. π 3 1 x4 (1)y'＝0 (2)y'＝(5x)′＝5xln 5 (5)y′＝(log3x)′ = , 1 xln3 (4)y′＝(x )′ 3 5 3 5 x - 2 5 ＝ 已知 f (x) = cosx，g (x) = x，求适合 f ' (x)＋g'(x) ＝ 0 的 x 的值 f ' (x)=-sinx,g'(x)=1, f ' (x)＋g'(x) ＝ 0即sinx=1. 表面终边落在y的正半轴 {x｜x＝ ＋2kπ，k∈Z} π 2 f′(1)