专题11 平行四边形经典最值问题专训（36道）-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题11 平行四边形经典最值问题专训（36道） 【平行四边形经典最值问题专训】 1．（2022秋·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，在菱形中，，E在上，，，P点在上，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，先证出，再两点之间线段最短可得当点共线时，取得最小值，最小值为的长，然后根据等边三角形的性质、勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，，， ∴关于对称，，， ∴， 则， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，最小值为的长， 又，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 2．（2022秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）如图，在中，，M为的中点，H为上一点，过点C作，交的延长线于点，若，，则四边形周长的最小值是（    ） A．28 B．26 C．22 D．18 【答案】A 【分析】通过证明可得，可得四边形的周长即为，进而可确定当时，四边形的周长有最小值，通过证明四边形为矩形可得的长，进而可求解． 【详解】解：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形的周长， 当最小时，即时四边形的周长有最小值， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形的周长最小值为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称最短路径问题，全等三角形的判定与性质，确定的值是解题的关键． 3．（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，点P是边上一动点，连接，，则下列结论： ① ； ②当时，平分； ③连接，周长的最小值为； ④当或6或时，为等腰三角形． 其中正确的个数有                                      （        ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短的原理，依次计算判断即可． 【详解】解：长方形中，，， ， 设，则， 则， 解得x=3， 故①正确； 长方形， ， ， 由①知， ， ， ， ， 平分； 故② 正确， 连接，延长到点E，使得，连接，交AD于点P，此时最小，且最小值为的长，根据勾股定理，得， 周长的最小值为； 故③正确； ， 时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形， 过点E作，垂足为F， 长方形中，，， ，， 四边形是矩形， ， ， ； 当时，为等腰三角形， 过点P作，垂足为H， 长方形中，，， ， 四边形是矩形， ，， , ， 解得； 故当或6或时，为等腰三角形． 所以④正确， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，线段最短原理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理和线段最短原理是解题的关键． 4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】如图，取的中点O，连接，，，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据两点之间线段最短得到即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴PC的最小值为1， 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 5．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校联考阶段练习）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接，则线段长度的最小值是（    ） A．－1 B．－1 C．－1 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，在N的运动过程中在以M为圆心、AD为直径的圆上的弧AD上运动，当C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出C的长即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠可知M=MA， ∵M为AD中点， ∴2MA=2MD=AD=2， ∴M= MA=1是定值， ∵M+C≥MC， ∴当线段长度是最小值时，在MC上， 过点M作MF⊥DC于点F， ∵菱形ABCD， ∴CDAB ∴∠FDM=∠A=60°， ∴∠FMD=30°， ∴FD=MD=， ∴FC=FD+CD=，FM=， ∴MC=， ∴C=MC-M=-1． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，由两点之间线段最短得出点位置是解题关键．