专题09 矩形、菱形、正方形的性质与判定重难点题型专训-2022-2023学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题09 矩形、菱形、正方形的性质与判定重难点题型专训 【题型目录】 题型一 矩形的性质与判定重难点题型 题型二 菱形的性质与判定重难点题型 题型三 正方形的性质与判定重难点题型 题型四 特殊平行四边形中长度问题 题型五 特殊平行四边形中角度问题 题型六 利用特殊平行四边形的性质求面积 题型七 中点四边形 题型八 特殊平行四边形的动点问题 题型九 四边形中的线段最值问题 题型十 特殊平行四边形中的折叠问题 题型十一 四边形其他综合问题 【经典例题一 矩形的性质与判定重难点题型】 知识点1：矩形的性质 1.边：对边平行且相等； 2.角：四个角都是直角； 3.对角线：对角线相等且互相平分； 4.对称性：既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴.（对称轴为矩形对边中点所在的直线） 知识点2：矩形的判定 1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形； 2. 对角线相等的平行四边形是矩形； 3. 有三个角都是90°的四边形是矩形. 【例1】（2022春·安徽芜湖·八年级芜湖市第二十九中学校考期中）如图，矩形中，，点是上的一点，，的垂直平分线交的延长线于点，连接交于点．若是的中点，则的长是（    ） A．12.5 B．12 C．10 D．10.5 【答案】C 【分析】根据线段中点的定义可得CG=DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=CF，EG=FG，设DE=x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF=EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC=AD． 【详解】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB=， ∴CG=DG=CD=AB =×=， 在△DEG和△CFG中， ， ∴△DEG≌△CFG(ASA)， ∴DE=CF，EG=FG， 设DE=x， 则BF=BC+CF=AD+CF=AE+DE+DE=6+x+x=6+2x， 在Rt△DEG中， ， ∴， ∵FH垂直平分BE， ∴BF=EF， ∴6+2x= ， 解得x=4， 经检验：x=4是方程的解， ∴AD=AE+DE=6+4=10， ∴BC=AD=10． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【变式训练】 【变式1】（2021春·贵州铜仁·八年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD的平分线交BC于E，若，则∠COE=（　　　） A．45 B．60 C．75 D．30 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和角平分线的定义得出，得出，再证，推出是等边三角形，得出，等量代换得出，利用等边对等角、三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵ AE平分∠BAD， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理、外角性质的应用，通过推导得出是解题的关键． 【变式2】（2021春·北京丰台·八年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，是矩形的边上一点，，是对角线上任意一点，，，垂足分别为和，则一定与图中哪条线段的长度相等：__． 【答案】或 【分析】连接，根据题意的面积等于与面积和，由可得，再由的面积等于，即可得出答案． 【详解】证明：连接，如图, ，，， ， 又四边形是矩形， ，， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质及三角形面积计算，应用等面积法列式计算是解决本题的关键． 【变式3】（2022秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，，，点在上，四边形是矩形，连接交于点，连接交于点F，给出下列结论：①平分；②；③；④若点是线段的中点，则为等腰直角三角形．其中正确结论的序号为____________． 【答案】①②③④ 【分析】①先说明是等腰三角形，再由矩形的性质可得，最后根据等腰三角形的性质即可判断；②证明即可判断；③过，垂足为，然后根据角平分线定理可得，再求得，最后根据等腰直角三角形的性质即可求解；④连接，然后证明，最后根据全等三角形的性质和角的和差即可判断． 【详解】解：①∵ ∴是等腰三角形 ∵四边形是矩形 ∴ ∴平分，故①正确； ②∵，即 ∴ ∵∵， ∴ 在和中 ∴ ∴，即②正确； ③过作，垂足为， ∵平分， ∴ ∵， ∴ ∴，即；故③正确； ④由②得， ∵为中点 ∴ ∵ ∴ 在和△中 ∴ ∴ ∴是等腰三角形 ∵ ∴ ∴，即